28. Виды напряженного состояния. Тензор напряжений. В зависимости от того, испытывает параллелепипед «растяжение» («сжатие») в одном, в двух или в трех направлениях, различают виды напряженного состояния: 1. линейное (одноосное) напряженное состояние, 2. плоское (двухосное) напряженное состояние, 3. объемное (трехосное) напряженное состояние. Линейное возникает при центральном растяжении (или центральном сжатии). (такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила (растягивающая или сжимающая), а все остальные внутренние усилия равны нулю). плоское напряженное состояние. характерным признаком является полное отсутствие нормальных и касательных напряжений на двух параллельных гранях параллелепипеда. Объемное напряженное состояние в курсе сопротивления материалов практически не изучается.
Тензор - объект линейной алгебры, линейно преобразующий элементы одного линейного пространства в элементы другого. Частными случаями тензоров являются скаляры, векторы, билинейные формы и т. п. Тензор напряжений — тензор второго ранга, состоящий из девяти величин, представляющих механические напряжения в произвольной точке нагруженного тела. Эти девять величин записываются в виде таблицы, в которой по главной диагонали стоят нормальные напряжения в трёх взаимно перпендикулярных осях, а в остальных позициях — касательные напряжения, действующие на трёх взаимно перпендикулярных плоскостях.
По индексу Компоненты | 29. Понятие эквивалентного напряжения при сложном напряженном состоянии. Разнообразие напряженных состояний безгранично, и создать каждое из них в лабораторных условиях для определения предельного состояния для всех материалов невозможно по техническим и экономическим причинам. Эквивалентное напряжение – это воображаемая условная расчетная величина, а не какое-то реально возникающее напряжение. Значение эквивалентного напряжения зависит не только от заданного типа напряженного состояния (значений соответствующих ему главных напряжений), но и от принятого для расчета прочности критерия эквивалентности напряженного состояния. Поэтому нельзя говорить, что эквивалентное напряжение возникает в некоторой точке. Следует говорить об определении эквивалентного напряжения для исследуемой точки Нужно сначала решить, что является критерием эквивалентности различных по характеру напряженных состояний. После этого для расчета стержня на прочность в случае сложного напряженного состояния его следует заменить на эквивалентное одноосное растяжение (сжатие) и сравнить соответствующее ему эквивалентное напряжение
| 30. Определение величины главных напряжений.
Если по граням выделенного элементарного параллелепипеда действуют одни только элементарные напряжения, то они называются главными напряжениями, а площадки, на которых они действуют называются главными площадками.(главные напряжения здесь обозначают s1,s2,s3) Для определения главных напряжений предположим, что площадка abc является главной площадкой. Тогда на ней будут действовать только нормальные напряжения, т.е. главные напряжения будут равны полным напряжениям p. В этом случае компоненты вектора полного напряжения р1, р2, р3 можно рассматривать как проекции главных напряжений на оси координат:
|
31. Определение положения главных площадок.
Для определения положения главных площадок необходимо вычислить значения направляющих косинусов следующим образом. В два из трех уравнений системы (sx - S) × l + tyx × m + tzx × n = 0; tyx × l + (sy - S) × m + tzy × n = 0; tzx × l + tzy × m + (sz - S) × n = 0. подставляются значения главных напряжений s1, s2, s3, а в качестве третьего используется равенство l2+m2+n2=1. Если I3=0 очевидно, что один из корней уравнения sv ×r 2 = sx ×x 2 + sy ×y 2 + sz ×z 2 + 2 tyz×y z + 2 txy×x y + 2 txz×x z также будет равен нулю. В этом случае напряженное состояние является плоским или двухосным. В частности, напряженное состояние чистого сдвига представляет собой двухосное напряженное состояние, для которого имеется s1=-s3, s2=0. Если I2 = I3 = 0 то из уравнения S 3 - S 2 I1 + S I2 - I3 = 0 очевидно, что имеет место два нулевых корня и только одно из главных напряжений отлично от нуля. Напряженное состояние в этом случае называется одноосным. Данное обстоятельство имеет место при простом сжатии или растяжении бруса или при чистом изгибе. | 32. Гипотезы прочности.
Гипотезы прочности указывают критерии эквивалентности различных напряженных состояний. Применение гипотез прочности избавляет от необходимости проведения огромного количества экспериментов. Тот или иной критерий эквивалентности может быть основой для практических расчетов на прочность лишь при условии, что для ряда частных случаев он проверен опытным путем, и результаты эксперимента оказались достаточно близки к результатам теоретического расчета. Первая гипотеза прочности основывается на предположении, что причиной разрушения материала являются наибольшие по абсолютному значению нормальные напряжения. Обычно первую гипотезу прочности, предложенную Галилеем, называют гипотезой наибольших нормальных напряжений. Существенный недостаток первой гипотезы прочности: при определении эквивалентного напряжения совершенно не учитываются два других главных напряжения, оказывающих влияние на прочность материала. Вторая гипотеза была выдвинута в 1682 г. Э. Мариоттом; согласно этой гипотезе, прочность материала в исследуемой точке достигает критического состояния при максимальном значении линейной деформации Достоинством второй гипотезы прочности является то, что при вычислении эквивалентного напряжения Согласно третьей гипотезе ( предложенная Кулоном в 1773 г .) прочности наибольших касательных напряжений, причиной разрушения материала являются наибольшие Касательные напряжения. Максимальное касательное напряжение для заданного объемного напряженного состояния и эквивалентного ему линейного напряженного состояния одинаковы: Четвертая (энергетическая) гипотеза прочности: количество удельной потенциальной энергии изменения формы, накопленной к моменту наступления предельного состояния материала, одинаково как при сложном напряженном состоянии, так и при простом одноосном растяжении. В четвертой гипотезе прочности речь идет не обо всей удельной потенциальной энергии деформации, а лишь ее части, которая накапливается за счет изменения формы кубика с ребром равным единице. Условие прочности по четвертой гипотезе прочности: | 33. Чистый сдвиг и его особенности. Закон Гука при сдвиге. Чистый сдвиг- вид напряженного состояния, при котором в окрестности исследуемой точки можно выделить такой элемент, на 4-х гранях которого действуют только касательные напряжения, а на 2 другие свободны от напряжений. Установлено: касательные напряжения пропорциональны углу сдвига в определенных пределах упругой деформации сдвига. Соотношение
Коэффициент пропорциональности G в формуле закона Гука при сдвиге - модуль сдвига. |
34. Определение модуля сдвига. Угол поворота сечения. Угол сдвига. Полярный момент инерции сплошного и полого вала.
Модуль сдвига определяет способность материала сопротивляться изменению формы при сохранении его объёма. Модуль сдвига равен отношению касательного t напряжения к величине угла сдвига g, определяющего искажение прямого угла между плоскостями, по которым действуют касательные напряжения. Можно показать, что модуль сдвига связан с модулем упругости первого рода и коэффициентом Пуассона следующим, хорошо согласующимся с опытом, уравнением:
Малый угол (g), на который изменится первоначально прямой угол Поля́рный моме́нт ине́рции — интегральная сумма произведений площадей элементарных площадок dA на квадрат расстояния их от полюса — ρ2 (в полярной системе координат), взятая по всей площади сечения. Для круглого сплошного сечения: Для кольцевого сечения (полый вал): | 35. Условие прочности и жесткости при сдвиге.
Сдвигом (срезом) называется такой вид деформации, при которой в любом поперечном сечении бруса возникает только поперечная сила. Ответы на вопросы о прочности может дать оценка прочности конструкции, которая сводится к сравнению расчетных напряжений с допускаемыми: Условие прочности при сдвиге 2. Определение допускаемой нагрузки 3. Проверка прочности Условие жесткости по логике строится так же, как и условие прочности. Однако, ограничения накладываются не на напряжения, а на изменение формы стержня (вала, балки). Для обеспечения требуемой жесткости вала необходимо, чтобы наибольший относительный угол закручивания не превосходил допускаемого: | 36. Расчет элементов конструкций на срез.
Срезом называется такой вид такой вид деформации стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор- поперечная сила Q. Можно считать, что деформация среза возникает при действии двух равных, близко расположенных друг к другу сил, которые направлены а противоположные стороны перпендикулярно продольной оси стержня. Допущения расчётов деталей на срез: - в поперечном сечении возникает только один внутренний силовой фактор- поперечная сила Q. -касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении, распределены по его площади равномерно. -в случае, если соединение осуществлено несколькими одинаковыми деталями (заклепками, болтами и др) принимается, что они все нагружены одинаково.
|
37. Расчет на прочность при сдвиге. Условие прочности. Условие прочности при сдвиге имеет следующий вид: Условие прочности:
| 38. Изгиб. Чистый изгиб. Поперечный изгиб. Нейтральный слой.
Изгиб - вид деформации стержня, при котором в его поперечных сечениях возникают изгибающие моменты относительно поперечных осей сечения. В общем случае в поперечных сечениях балки возникают внутренние силы- изгибающие моменты М и поперечные силы Q. Чистый изгиб - изгиб, при котором в поперечном сечении балки возникает только изгибающий момент. При этом в поперечном сечении балки нет внутренней поперечной силы Q => нет касательных напряжений t, а только нормальные напряжения s. Поперечный изгиб- изгиб, при котором в поперечном сечении балки возникает и изгибающий момент М и поперечная сила Q, а => возникают t и s. Над тем, что происходит с продольными волокнами балки при изгибе, задумывались многие ученые. Галилей считал: все волокна балки при изгибе балки одинаково растягиваются. Лейбниц полагал: крайние волокна балки при изгибе не изменяют длины, а удлинения остальных волокон балки возрастают пропорционально удалению от крайних волокон. Однако опыты Артура Морена показали: при изгибе часть волокон балки испытывает растяжение, а часть – сжатие. Границей между областями растяжения и сжатия является слой волокон, образующих нейтральный слой, которые искривляются, не испытывая при этом ни растяжения, ни сжатия. Нулевая линия - линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения балки. Нейтральная ось — линия в поперечном сечении изгибаемой балки, в точках которой нормальные напряжения, параллельные оси балки, равны нулю. Нейтральная ось делит сечение на две части, в одной из которых действуют растягивающие нормальные напряжения, а в другой — сжимающие. | 39. Внутренние силовые факторы при изгибе. Определение их величин. Эпюры.
При деформации изгиба в рассматриваемом сечении бруса возникают поперечная сила и изгибающий момент. Поэтому для каждой балки строят две эпюры: Q и М. Изгибающий момент М в поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих по одну сторону от данного сечения (слева либо справа), вычисленных относительно центра тяжести сечения.
|
40. Возникновение изгибающего момента и поперечной силы при изгибе.
В поперечном сечении балки могут возникать два внутренних усилия – изгибающий момент Между изгибающим моментом
Изгибающий момент М в поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих по одну сторону от данного сечения (слева либо справа), вычисленных относительно центра тяжести сечения. Поперечная сила Q в каждом j-м сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения | 41. Определение внутренних сил при изгибе методом сечения.
При плоском поперечном изгибе в поперечных сечениях стержня возникают следующие составляющие внутренних сил – поперечная сила Q и изгибающий момент Ми. Для их определения используют метод сечений. Метод сечений позволяет определить внутренние силы, которые возникают в стержне, находящемся в равновесии под действием внешней нагрузки. Метод сечения основан на 4ех простых правилах. Позволяет выяснить распределение напряжения и деформации по сечению эл-та конструкции. Кроме того можно определить распределение этих параметров по длине конструкции. Делается это для того, чтобы определить «опасное сечение», т.е. такое где действ. Мах напряжение или мах деформация, а затем сравнить их с допустимыми. Р - рассекаем тело или участок конструкции в том сечении кот нас интересует. О - отбросим любую из частей тела З- заменим отброшенную часть системы внутренних сил, действующих в выбранном сечении. У- уравновешиваем. Составляем уравнение равновесия в выбранном сечении. Внутренние силы в методе сечений Полученную бесконечную систему сил по правилам теоретической механики можно привести к центру тяжести поперечного сечения. В результате получим главный вектор R и главный момент M (1.3,в).Разложим главный вектор и главный момент на составляющие по осям x, y (главные центральные оси) и z.Получим 6 внутренних силовых факторов, возникающих в поперечном сечении стержня при его деформировании: три силы Сила N - продольная сила
моменты относительно осей x, y (
Из уравнений определяются внутренние усилия, возникающие в рассматриваемом поперечном сечении стержня. | 42. Правила построения эпюр при изгибе. Правило знаков. Контроль правильности построения эпюр.
Правила построения эпюр, вытекающие из метода сечений, и являющиеся следствием дифференциальных и интегральных зависимостей, некоторые из которых справедливы при обходе эпюр
Правило построения эпюр – отсутствующая распределенная нагрузка. Если на участке балки отсутствует распределенная нагрузка (q=0), то эпюра поперечных сил Правило построение эпюр – скачки и изломы. Под сосредоточенной силой (P) на эпюре поперечных сил Правило построение эпюр – присутствует распределенная нагрузка. Если на участке балки имеется равномерно распределенная нагрузка: эпюра поперечных сил Правило построение эпюр – экстремум. Если эпюра поперечной силы проходит через нулевое значение, то в этом сечении балки на эпюре изгибающих моментов Правило знаков: - поперечная сила в сечении балки считается положительной, если равнодействующая внешних сил, действующих слева от сечения, направлена снизу вверх, а действующих справа от сечения - сверху вниз, и отрицательной - в противоположных случаях; - изгибающий момент считается положительным, если в рассматриваемом сечении балка изгибается выпуклостью вниз, и отрицательным- в противоположном случае Контроль правильности построения эпюр Проверка эпюры поперечных сил Убеждаемся: под незагруженными участками эпюра поперечных сил идет параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой q – по наклоненной вниз. Проверка эпюры изгибающих моментов На эпюре изгибающих моментов видим изломы под сосредоточенной силой P и под опорными реакциями. Углы изломов направлены навстречу этим силам. Под распределенной нагрузкой q эпюра изгибающих моментов изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. |
43. Нормальные напряжения при изгибе.
При изгибе балки одни слои ее растягиваются, другие сжимаются. Между ними находится нейтральный слой, который лишь искривляется, не изменяя при этом своей длины. Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения совпадает со второй главной осью инерции и называется нейтральной линией (нейтральной осью). Чистый прямой изгиб характеризуется следующим. 1). На выпуклой стороне волокна растягиваются, а на вогнутой – сжимаются. В этом можно убедиться, если с той и другой стороны балки сделать надрезы; на выпуклой стороне они разойдутся, а на вогнутой – сойдутся. 2). Если на боковой стороне балки нанести прямоугольную сетку, то будет видно, что переход от сжатых волокон к растянутым и наоборот происходит непрерывно и что между ними есть нейтральный слой, то есть волокна, длина которых при изгибе не изменяется (рис. 8.6). При плоском изгибе нейтральный слой образует цилиндрическую поверхность, образующие которой лежат в поперечных сечениях и называются нейтральными линиями. Нейтральные линии, так же как и нейтральный слой служат границами между растягивающими и сжимающими напряжениями. На самой нейтральной линии напряжений нет. Проекция нейтрального слоя на плоскость изгиба (плоскость симметрии), в случае упругих деформаций, называется упругой линией балки. Упругая линия балки, будучи частью нейтрального слоя длину не меняет. 3). В силу эффекта Пуассона в растянутой зоне поперечные сечения сужаются, а в сжатой – расширяются. 4). Плоские поперечные сечения, нормальные к упругой линии балки до изгиба, остаются плоскими и нормальными к ней после изгиба (гипотеза плоских сечений Я. Бернулли – 1705 г.). 5). Продольные волокна не оказывают давления друг на друга, а испытывают только осевое растяжение или сжатие. Иначе говоря, σy=0. 6). Картина деформаций по ширине сечения не изменяется, то есть нормальные напряжения распределены по ширине сечения равномерно. Рассмотрим балку длиной l до и после чистого прямого изгиба (рис. 8.7). Относительное удлинение волокна (слоя) AB, удаленного на расстояния y от нейтрального слоя
Для определения нормальных напряжений необходимо знать положение нейтрального слоя, то есть ρ. Для этого рассмотрим условия равновесия между нагрузочным моментом, действующим на какое-нибудь симметричное сечение F и внутренними силами σdF, распределенными по этому сечению (рис. 8.8.).
Второе, третье и четвертое условия удовлетворяются тождественно. Шестое условие: Подставляя это, получим расчетную формулу для нормальных напряжений при чистом прямом изгибе призматических балок - в растянутой зоне s1>0, s2=s3=0; - в сжатой зоне s3>0, s1=s3=0. | 43. Нормальные напряжения при изгибе.
Условные обозначения. Mx, Q - внутренние усилия: изгибающий момент и поперечная сила, они изменяются вдоль бруса и определяются с помощью построения эпюр; у - координата точек поперечного сечения, в которых определяются напряжения; b - ширина сечения в месте определения касательных напряжений; Jx - главный центральный момент инерции -момент инерции относительно центральной оси х, сx* - статический момент относительно нейтральной оси ж той части площади поперечного сечения, которая расположена выше (или ниже) продольного сечения - выше или ниже уровня у, в точках которого определяются касательные напряжения. С увеличением координаты у нормальные напряжения увеличиваются и в наиболее удаленных от нейтральной оси точках достигают наибольшего значения: | 44. Касательные напряжения при изгибе.
Касательные напряжения, наоборот, уменьшаются и в наиболее удаленных от нейтральной оси точках обращаются в нуль, а а области нейтральной оси достигают наибольших значений. Кроме того, наибольшие значения касательных напряжений значительно меньше максимальных значений нормальных напряжений: так для консольного стержня прямоугольного поперечного сечения, нагруженного сосредоточенной силой на свободном конце, отношение максимальных значений этих напряжений Поэтому, при l >> h, что имеет место в большинстве случаев, касательные напряжения по сравнению с нормальными пренебрежимо малы и при расчетах на прочность не учитываются. Проанализируем формулу Журавского:
Во всех точках поперечного сечения, расположенных на расстоянии y от нейтральной линии (по всей ширине сечения |
45. Расчет на прочность при изгибе. При поперечном изгибе наибольшие нормальные напряжения возникают в наиболее удаленных от нейтральной оси точках сечения, а на самой этой оси нормальные напряжения равны нулю, тогда как зона действия наибольших касательных напряжений расположена, наоборот, вблизи нейтральной оси. Кроме того, величина τmax мала по сравнению с σmax, если длина балки существенно больше высоты сечения. Все это позволяет не принимать во внимание касательные напряжения и проводить расчет на прочность только по нормальным напряжениям (для тонкостенных балок это не всегда справедливо). Условие прочности балки требует, чтобы максимальные нормальные напряжения не превышали допускаемых напряжений для материала балки: Если материал одинаково работает на растяжение и сжатие, то опасной будет та точка сечения, где действует наибольшее по абсолютной величине напряжение независимо от его знака. Для хрупких материалов, имеющих существенно различные пределы прочности при растяжении σвр и сжатии σвсж, требуется проверка прочности по наибольшим растягивающим и сжимающим напряжениям:
Для балок из пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие, целесообразно выбирать сечения, симметричные относительно их нейтральных осей; при этом условии обеспечивается одинаковый запас прочности сечения по растянутым и сжатым волокнам. Если кроме условия прочности исходить еще и из требования минимальной массы балки, то наиболее рациональным будет сечение, которое при заданном моменте сопротивления Wz имеет наименьшую площадь сечения F, а при заданной площади – наибольший момент сопротивления. Поэтому двутавровое сечение имеет существенное преимущество перед прямоугольным сечением. Для материалов хрупких, обладающих различной прочностью при растяжении и сжатии, рациональным будет сечение, несимметричное относительно нейтральной оси, например тавровое, несимметричное двутавровое и т.п. | 45. Расчет на прочность при изгибе.
Прочность балки обеспечена, если наибольшие по абсолютному значению нормальные напряжения, возникающие в опасном сечении, не превышают допустимых. Для балки, поперечные размеры которой по всей длине постоянны, опасное сечение то, в котором возникает наибольший по модулю изгибающий момент. Наибольшие нормальные напряжения возникают в точках опасного поперечного сечения, максимально удаленных от нейтральной оси. Эти точки принято называть опасными. Значения максимальных напряжений в опасных точках найдем по формуле: Если материал балки хрупкий, например закаленная сталь, чугун, текстолит и др., то расчет на прочность при изгибе проводят по напряжениям растяжения и сжатия. У хрупких материалов предел прочности при сжатии выше предела прочности при растяжении для растянутой зоны для сжатой зоны При расчете балок из пластичных материалов, например коуглеродистой стали или цветных металлов, допускаемые напряжения растяжения и сжатия одинаковы: | 46. Перемещения при изгибе. Упругая линия. Условие жесткости при изгибе.
При изгибе под действием поперечных нагрузок продольная ось бруса (балки) искривляется. Если изгиб протекает в пределах упругих свойств материала, т. е, в пределах действия закона Гука, то после снятия нагрузок ось бруса снова выпрямляется. Поэтому изогнутую ось бруса называют упругой линией. По форме, которую при нагружении бруса принимает его упругая линия, можно судить об угловых и линейных перемещениях при изгибе. Проверка жесткости балки при изгибе сводится к требованию, согласно которому наибольший ее прогиб ( во-первых, при малых вертикальных перемещениях (прогибах v) угол наклона касательной к изогнутой оси балки и угол поворота поперечного сечения балки: во-вторых, горизонтальным перемещением (u) можно пренебречь, так как оно по сравнению с прогибом (v) и углом поворота поперечного сечения ( Расчет на жесткость элемента конструкции, имеющею форму жня (бруса), заключается в определении наибольших линейных и угловых перемещений его поперечных сечений при заданной нагрузке (рис. 5.1) и сопоставлении их с допустимыми перемещениями, которые зависят от назначения конструкции и условий ее эксплуатации Иными словами, условие жесткости можно выразить неравенством: В большинстве случаев допускаемое значение прогибов определяется из выражения: т — число, устанавливаемое нормами проектирования, которое лежит в пределах 300-1000. Для перекрытий домов т = 500-600; для подкрановых балок т = 600—700; для мостов т = 700. Рассмотрим консольную балку, нагруженную на свободном конце сосредоточенной силой F.Под действием силы F балка изогнётся и некоторая точка А, лежащая на оси балки в сечении, отстоящим на расстоянии z от свободного края, переместитсяв положение А1, получив при этом 2 линейных перемещения: горизонтальное — (w); вертикальное — (v).
По гипотезе Бернулли, сечение п—п, в котором лежит точка А. будучи плоским и перпендикулярным к оси бруса до изгиба, должно остаться плоским и перпендикулярным к оси бруса положение(п1 —п1). Из рис. 5.2, а также видно, что угол поворота сечения Величины Так как перемещения малы по сравнению с длиной балки, введем допущения: 1. При вычислении перемещений горизонтальным перемещу ем w пренебрегают ввиду его малости по сравнению с вертикальным перемещением, называемым прогибом балки. Упрощенно принимается, что каждая точка оси балки перемещается только по вертикали (см. рис. 5.2, б). 2. Тангенс угла наклона касательной к изогнутой оси в данной токе численно равен первой производной от v по z, но ввиду малости угла наклона касательной тангенс угла можно заменить значением угла, выраженным в радианах: 3. Применима формула кривизны при изгибе. Эта формула показывает, что кривизна 1/r изменяется по длине балки по тому же закону, по которому изменяется M/EI. Для балки постоянного сечения эпюра кривизны 1 /р имеет такой же вид, как и эпюра моментов. Если функция n =f(z) известна, то, определив прогибы в ряде точек, можно построить кривую прогибов (упругую линию, или линию прогибов) и найти наибольший прогиб, который позволит судить о жесткости балки.
|
47. Энергетический способ определения перемещений. Существует несколько способов определения перемещений. При определении перемещений нужно рассматривать два состояния системы: I - действительное состояние, с приложенной внешней нагрузкой; II - вспомогательное состояние, в котором балка освобождается от внешней нагрузки, а к сечению, перемещение которого определяется, прикладывается единичная сила, если определяется линейное перемещение, или единичный момент, если определяется угловое перемещение (рис. 6.1). | 48. Правило Верещагина. Интеграл Максвелла –Мора слишком громоздкий. В 1924 г. А.К. Верещагин упростил расчет этого интеграла с помощью графоаналитического метода, который до сих пор называется правилом Верещагина. Рассмотрим интеграл, от произведения эпюр моментов, возникающий в формуле Мора,
Второй интеграл это просто площадь нелинейной эпюры
Правило Верещагина можно сформулировать так - интеграл от произведения нелинейной эпюры и линейной равен произведению площади нелинейной и ординаты линейной, вычисленной под центром тяжести нелинейной. На рисунке - синяя кривая это нелинейная эпюра, красная прямая - линейная. Интегрирование ведется на участке ab. | 49. Кручение. Определение напряжений при кручении.
Круче́ние — один из видов деформации тела. Возникает в том случае, если нагрузка прикладывается к телу в виде пары сил (момента) в его поперечной плоскости. При этом в поперечных сечениях тела возникает только один внутренний силовой фактор — крутящий момент. На кручение работают пружины растяжения-сжатия и валы. Угол закручивания (j)- угол, на который повернется крайнее правое поперечное сечение стержня относительно неподвижного левого сечения. Угол закручивания цилиндрического стержня в границах упругих деформаций под действием момента T может быть определён из уравнения закона Гука для случая кручения
l— длина стержня; G — модуль сдвига. Отношение угла закручивания j к длине l называют относительным углом закручивания Деформация кручения является частным случаем деформации сдвига. Напряжения при кручении Вращающийся стержень, работающий на кручение называют валом. Стержень, используемый как упругий элемент, который работает на скручивание, называется торсионом. Касательные напряжения Используя это условие, можно или по известным силовым факторам, которые создают крутящий момент Т, найти полярный момент сопротивления и далее, в зависимости от той или иной формы, найти размеры сечения, или наоборот — зная размеры сечения, можно вычислить наибольшую величину крутящего момента, которую можно допустить в сечении, которое в свою очередь, позволит найти допустимые величины внешних нагрузок. |
50. Расчет элементов конструкций при кручении.
Подставив выражение Наибольшие касательные напряжения ( Формула наибольших касательных напряжений:
Введя обозначение |
|
|
Дата добавления: 2015-09-30; просмотров: 74 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| Бюджет держави є складова ланка: | | | Планирование воспитательно – образовательной работы |
Компоненты тензора напряжений 
в декартовой системе координат вводят следующим образом. Рассматривают бесконечно малый объём тела (сплошной среды) в виде прямоугольного параллелепипеда, грани которого ортогональны координатным осям и имеют площади 
. На каждой грани 
. Если обозначить проекции этих сил на оси 
как 
, то компонентами тензора напряжений называют отношение проекций силы к величине площади грани, на которой действует эта сила: 
здесь суммирования нет. Компоненты 
, 
, 
, обозначаемые также как 
, 
, 
— это нормальные напряжения, они представляют собой отношение проекции силы на нормаль к площади рассматриваемой грани: 
, 
, 
, обозначаемые также как 
, 
, 
— это касательные напряжения, они представляют собой отношение проекции силы на касательные направления к площади рассматриваемой грани: 
с предельным (или допускаемым) напряжением для данного материала.
Эти уравнения можно рассматривать как систему линейных однородных уравнений относительно направляющих косинусов. Из соотношения 
(n- внешняя нормаль) направляющие косинусы не могут одновременно иметь нулевые значения. В этом случае определитель, составленный из коэффициентов системы должен быть равен 0
.Раскрываем определитель 
, где коэффициенты 
называются инвариантами напряженного состояния в точке, так как они не изменяют своей величины при изменении направления исходной системы прямоугольных координат.
.
она учитывает все три главных напряжения. Однако вторая гипотеза прочности недостаточно подтверждается опытами и не применяется.
. Формула наибольшего касательного напряжения при объемном напряженном состоянии: 
. Эквивалентное напряжение при одноосном растяжении: 
. Условие прочности по третьей гипотезе прочности: 
. Третья гипотеза прочности не учитывает второго главного напряжения 
.
- формула закона Гука при сдвиге.
, где 
- касательное напряжение, F- действующая сила, А- площадь, на которую действует сила, 
- сдвиговая деформация, 
- смещение, I- начальная длина. 
– это угол сдвига или относительный сдвиг. Угол сдвига выражается в радианах.
,D- диаметр круга.
Это и есть основные условия прочности.
позволяет решать три типа задач: 1. Проектный расчет 
, где [t]- допустимое касательное напряжение, которое в первом приближении принимается равным [t]»(0,5¸0,6)[s].
, 
- расчётное напряжение среза, возникающее в поперечном сечении рассчитываемой детали, Q- поперечная сила при нескольких одинаково соединенных деталях(Q=F/i, F- общая нагрузка соединения, i- число болтов), 
- площадь среза одой заклёпки, 
- допустимое напряжение на срез, зависящее от материала соединяемых элементов и условий работы конструкции. При расчете принимают 
(0,25- 0,35) 
, 
, Поперечная сила Q в каждом j-м сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения 
и поперечная сила 
. Воздействие на детали, конструкции, элементы механизмов может быть задано распределенными нагрузками: в плоской системе задается интенсивность действия по длине конструкции, в пространственной системе – по площади.
, 
, 
(рис. 1.3, г) и три момента 
(рис. 1.3, д).
– поперечные силы, момент относительно оси z (
) – крутящий момент
) – изгибающие моменты. Запишем для оставленной части тела уравнения равновесия (уравновесим): 
на этом участке представляет собой прямую, параллельную оси балки (рис. 7.6). По дифференциальной зависимости распределенной нагрузки и поперечной силы: поскольку q=0, то и 
. Следовательно, 
. Эпюра изгибающих моментов на участке, гдеq=0, – прямая линия. Причем, если 
, то прямая идет вверх, а если 
, прямая идет вниз. Если 
, то изгибающий момент постоянен, поскольку 
.
– излом, угол которого направлен навстречу нагрузке.
). В точках, соответствующих началу и концу участка, в пределах которого действует распределенная нагрузка, параболическая и прямолинейная части эпюры 
Это равенство является аналитическим выражением гипотезы плоских сечений. Так как предполагается, что продольные волокна не давят друг на друга, согласно закона Гука нормальные напряжения в волокне AB равны 
Отношение E/ρ в сечении есть величина постоянная, следовательно, напряжения, так же как и деформации волокон, изменяются по линейному закону (рис. 8.7).
Первое условие имеет вид 
или 
Так как E/ρ≠0, следовательно 
Данный интеграл есть статический момент площади поперечного сечения относительно нейтральной линии z; он равен нулю, следовательно, нейтральные линии проходят через центры тяжести своих поперечных сечений, то есть являются центральными осями, а упругая линия является геометрической осью балки.
или 
. Здесь 
есть центробежный момент инерции площади сечения; он равен нулю, следовательно, оси y, z являются главными осями инерции сечения. Пятое условие: 
или 
. Здесь 
осевой момент инерции площади сечения, следовательно, 
Таким образом, радиус кривизны нейтрального слоя определяется из следующего уравнения: 
. Максимальные нормальные напряжения определяются из следующего уравнения: 
. При чистом изгибе по одну сторону от нейтрального слоя происходит простое растяжение, по другую – простое сжатие. Следовательно, при чистом изгибе имеет место линейное напряженное состояние:
Эпюры нормальных напряжений (рис 8.7) показывают, что внутренние слои материала нагружаются меньше, чем наружные. Поэтому, проектируя профили балок, стремятся большую часть площади сечения разместить подальше от нейтральной линии. При изгибе в вертикальной плоскости стандартные двутавровые, швеллерные, тавровые профили (рис. 8.1 в, г, д) дают существенную выгоду в весе. Если материал балки хуже сопротивляется растяжению, нежели сжатию, то центр тяжести сечения должен располагаться ближе к растянутым волокнам, чтобы величина максимальных растягивающих напряжений была меньше максимальных сжимающих напряжений (рис. 8.9). 
. Для расчетов используется специальная геометрическая характеристика - момент сопротивления сечения при изгибе: 
где l, h - длина бруса и высота его поперечного сечения.
. Поперечная сила (
являются постоянными величинами, поэтому касательные напряжения изменяются по высоте поперечного сечения по тому же закону, что и отношение статического момента отсеченной части поперечного сечения (
) к ширине поперечного сечения 
(), в котором они вычисляются.
. Наибольшие касательные напряжения возникают в точках поперечного сечения, расположенных на нейтральной оси. Напомним, что в этих точках нормальные напряжения равны нулю.
, где [σ]=σт/n или [σ]=σв/n.
, 
, где [σ]р=σвр/n или [σ]сж=σвсж/n.
, где 
и 
- расстояния от нейтральной оси до наиболее удаленных точек соответственно в растянутой и сжатой зонах сечения.
. Следовательно, поперечным сечениям балок из хрупких материалов целесообразно придавать асимметричную форму относительно нейтральной оси (рис. 1) и располагать балку так, чтобы большая часть материала находилась в растянутой зоне. 
Таким образом, при расчетах балок из хрупкого материала используются два условия прочности:
;
. Поэтому для таких балок целесообразными являются сечения, симметричные относительно нейтральной оси (рис. 2) 
, так как в этом случае наиболее удаленные точки в растянутой и сжатой зонах сечения располагаются на одинаковом расстоянии y = h/2 от нейтральной оси. И, следовательно, 
) не должен превышать определенной доли от пролета балки (l): 
. Здесь число m устанавливается нормами проектирования и колеблется обычно в пределах от 300 до 1000. Для ответственных сооружений, например, для мостов,m=1000. Прогибы балки при изгибе малы по сравнению с ее пролетом. Это позволяет ввести некоторые упрощения:
. Угол поворота поперечного сечения равен первой производной от прогиба балки;
), является величиной более высокого порядка малости (можно считать, что каждая точка оси балки перемещается только по вертикали). Таким образом, для определения полной картины деформации при изгибе необходимо получить уравнение оси изогнутой балки: 
. Если уравнение оси изогнутой балки известно, можно построить кривую прогибов и найти наибольший прогиб, который позволит нам судить о жесткости балки. В ряде задач возникает необходимость и в определении угла поворота поперечного сечения.
, 
, где v max и 
max— максимальные линейное и угловое перемещения рассматриваемого сечения, возникающие под нагрузкой; [v] и [j] — допускаемые значения перемещений.
=l/m, где /—длина пролета балки, см;
,v являются компонентами перемещений произвольного поперечного сечения балки.
.
.
Одним из наиболее распространённых является способ, связанный с анализом потенциальной энергии упругого тела. Под воздействием силы на упругое тело частицы тела совершают малые перемещения в пределах упругих деформаций при этом совершается работа. Работа, производимая силой при упругой деформации частиц тела, приводит к накоплению телом потенциальной энергии деформации. Исключая механические, электрические, магнитные и другие потери, можно записать равенство U= 
. Такой подход был реализован итальянским ученым Кастелиано в 1875 г. Он вывел теорему, в которой обосновал связь между потенциальной энергией упругого тела и обобщенными перемещениями d. 
, где 
- момент от внешних нагрузок, 
- момент (эпюра моментов) от единичной фективной нагрузки, l- длина балки (участка балки), E*J- жесткость, z- текущая координата.
, где y=f(x) нелинейная эпюра моментов (обычно от действия распределенной нагрузки), а y=kx+m - линейная. Выведем простое правило вычисления этого интеграла. Раскроем скобки и преобразуем
= W, а первый - статический момент 
площади нелинейной фигуры относительно оси y. Так как координата центра тяжести имеет вид xc = S/W, получим 
= k 
W+ mW = W(k 
где:
— геометрический полярный момент инерции;
, возникающие в условиях кручения, определяются по формуле: 
, где r — расстояние от оси кручения. Очевидно, что касательные напряжения достигают наибольшего значения на поверхности вала при 
и при максимальном крутящем моменте 
, то есть 
, где Wp — полярный момент сопротивления.
в формулу 
получим формулу касательных напряжений сечения вала в любой точке поперечного сечения вала: 
) возникают в точках контура поперечного сечения при 
, окончательно получим формулу максимальных касательных напряжений в сечении вала: 
, где Wp – полярный момент сопротивления.