Вопрос 1. Определители 2-го и 3-го порядков. Основные свойства. Минор и алгебраическое дополнение.

Вопрос 1. Определители 2-го и 3-го порядков. Основные свойства. Минор и алгебраическое дополнение.

Вычисление определителя путем разложения его по элементам строки (столбца). Теорема о сумме элементов строки определителя, умноженных на алгебраические дополнения другой строки.

1. Теория: Определители 2^го порядка

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

(1)

Решаем эту систему методом исключения неизвестных. Исключим у. Для этого первое уравнение умножаем на а ₂₂, второе на – а ₁₂, затем уравнения складываем, получаем после преобразований

.

Если , то можем найти х

. (2)

Число называется определителем 2 ^го порядка и обозначается

.

Выражение, стоящее в числителе, тоже является определителем 2 ^го порядка

.

Правило вычисления определителя 2^го порядка

Сначала об элементах определителя: .

1) - элемент определителя, стоящий в i-ой строке и в j-ом столбце,

2) i, j – индексы,

3) - элементы i-ой строки,

4) - элементы j-ого столбца,

5) - элементы главной диагонали,

6) - элементы побочной диагонали.

.

Определитель 3 ^го порядка есть число, зависимое и вычисляемое следующим образом:

.

Для упрощения вычисления определителя имеется несколько схем.

1. Схема треугольников.

2. Схема Саррюса

3. Свойства определителей

Мы изучили свойства общие для определителей любого порядка. Но будем рассматривать их на примере определителя 3 ^го порядка.

1с) Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами.

Такая операция называется транспонированием определителя и обозначается , таким образом

.

Проверить справедливость этого свойства можно вычислением определителя и .

.

Это свойство говорит о равноправии строк и столбцов определителя с точки зрения его свойств.

2с) При перестановке 2 ^х строк (или столбцов) определитель меняет знак.

Проверка вычислением.

3с) Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Доказательство:

Предположим и определитель равен . Переставим и . Согласно 2с) определитель должен сменить знак, т.е. стать равным . Но строки равны и перестановка не должна сказаться на его величине, таким образом

,

а это возможно, если только .

4с) Общий множитель элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

Доказательство:

Предположим какая-либо строка, например 1 ^ая, имеет общий множитель, значит все элементы с первым индексом 1 имеют этот общий множитель. А элементы с таким первым индексом входят в каждое произведение выражения для вычисления определителя. Значит этот множитель входит в каждое произведение и его можно вынести за скобки или за знак определителя.

.

5с) Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

Доказательство: вытекает из предыдущего свойства.

6с) Если соответствующие элементы 2 ^х строк (столбцов) пропорциональны, то такой определитель равен нулю.

.

Введем понятие минора и алгебраического дополнения определителя.

Выделим в определителе 3 ^го порядка элемент и вычеркнем i -ую строку и k -ый столбец. Оставшиеся элементы образуют определитель второго порядка, который и называют минором M_ik элемента .

Например

.

Алгебраическое дополнение элемента определяется выражением

.

Схема знаков для определителя 3 ^го порядка.

Например

.

7с) Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) на алгебраические дополнения этих элементов равна величине определителя.

– это разложение по столбцу k.

– это разложение по строке i.

Для определителя 3 ^го порядка:

Пример.

.

Руководствуясь этим свойством, можно вычислить определитель любого порядка.

8с) Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю, т.е.

.

Доказательство:

В данной сумме не участвуют элементы строки j. Значит она (эта сумма) от этих элементов не зависит. Поэтому данную строку можно заменить на любую другую, например на i -ю строку, но такой определитель равен нулю.

9с) Пусть определитель имеет следующий вид:

, его можно записать в виде суммы 2 ^х определителей

.

Доказать можно разложением по элементам первого столбца.

10с) Если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца) предварительно умноженные на одно и тоже число, то величина определителя не изменится.

0

.

Применяя это свойство, удается упростить вычисление определителя.

Пример.

.

Пользуясь этим свойством и разложением определителя по строке (столбцу) можно вычислять и определители более высоких порядков.

Пример.

.

1. Решение системы линейных уравнений с помощью определителей

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

(1)

.

; ; . (2)

1) . Получаем формулы Крамера.

; ; . (3)

Формулы (3) дают единственное решение системы. То, что это решение можно убедиться, подставив (3) в (1).

2) , но один из .

Система не совместна, т.к. (2) не выполняются.

3) . В этом случае система или не имеет решений, или имеет их бесчисленное множество. (Или несовместна, или неопределенна).

Рассмотрим выполнение заданий на вычисление определителей третьего порядка и решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Дата добавления: 2015-09-29