Домашняя самостоятельная работа по курсу

Домашняя самостоятельная работа по курсу

«Математические модели в экономике и управлении».

Вариант №4

1. По данным В. Леонтьева матрица технологических коэффициентов для восьми отраслей экономики США в 1958 г. и вектор конечного потребления (млрд долларов США) имеют вид

Отрасли
1. Продукты питания, лекарства	0,1993	0,0149	0,0076	0,0065	0,0074	0,0059	0,00541	0,0328	52,728
2. Ткани, одежда, мебель	0,0045	0,3511	0,0043	0,0152	0,0110	0,0061	0,0016	0,0052	21,369
3. Оборудование, машины	0,0056	0,0059	0,1093	0,0382	0,0202	0,0291	0,0101	0,1070	13,385
4. Транспортные средства, бытовая техника	0,0048	0,0043	0,0384	0,2187	0,0198	0,0172	0,00454	0,0045	38,691
5. Строительство	0,0152	0,0060	0,0054	0,0057	0,0007	0,0101	0,0382	0,0059	65,117
6. Металлы	0,0135	0,0130	0,1447	0,1120	0,0933	0,2827	0,0096	0,0407	2,244
7. Энергия	0,0283	0,0179	0,0175	0,0149	0,0400	0,0605	0,1708	0,0957	23,851
8. Химические продукты	0,0256	0,0282	0,0095	0,0088	0,0176	0,0163	0,0177	0,2124	3,218

Построить по этим данным таблицу межотраслевого баланса. В какой из отраслей экономики доля добавленной стоимости в объеме производства выше?

2. Совет директоров производственного предприятия рассматривает ряд инвестиционных проектов, представленных в таблице ниже. Обозначим – доход инвестиционного проекта , – затраты на этот проект Требуется оптимизировать суммарный доход, при условии, что общий объем инвестиций не должен превышать долларов.

Инвестиционный проект	Дополнительные условия
	Отсутствуют
	Проект можно принять, если принят проект 1
	Проект можно принять, если принят проект 2
	Проект можно принять, если приняты проекты 1 и 2
	Проект нельзя принять, если принят проект 1 или 2
	Проект нельзя принять, если приняты проекты 2 и 3
	Проект можно принять, если принят проект 2 и не принят проект 3

Сформулируйте эту задачу как модель линейного программирования с использованием булевых переменных. Задайте по своему усмотрению необходимые параметры модели и найдите оптимальный план.

3. Компании нужно направить коммивояжеров в новые рынки сбыта. Имеется три вакансии и четыре кандидата. Результат назначения кандидата на определенное место определяется ожидаемым увеличением прибыли. Прибыль, которую может дать кандидат, работая на той или иной территории, показана в таблице.

Удельная прибыль	Территория 1	Территория 2	Территория 3
A	40,00	30,00	20,00
B	18,00	28,00	22,00
C	12,00	16,00	20,00
D	25,00	24,00	27,00

Компания заинтересована в максимизации общей прибыли. Требуется составить оптимальный план распределения коммивояжеров по территориям.

4. Предприятие выпускает телевизоры, стерео - и акустические системы, используя общий склад комплектующих деталей. В связи с ограниченностью запаса необходимо найти оптимальное соотношение объемов выпуска изделий. Следует учитывать уменьшение удельной прибыли при увеличении объемов производства в связи с дополнительными затратами на сбыт. Величина эластичности прибыли по объему производства составляет 0,9 для всех видов изделий. Поэтому, например, при сбыте штук телевизоров прибыль определяется формулой , что сразу делает задачу нелинейной. Параметры производственного процесса приведены в таблице.

Наименование изделий	Телевизор	Стерео система	Акустическая система
Удельная прибыль, доллар за штуку
Наим. деталей	Наличие на складе	Количество деталей на одно изделие
Шасси
Кинескоп
Динамик
Блок пит.
Элек. плата

а) Определите оптимальный план выпуска изделий, максимизирующий прибыль предприятия. Глобальный или локальный экстремум найдет программа Поиск решения Excel?

б) Получите отчет по устойчивости и дайте интерпретацию множителей Лагранжа.

в) Сведите задачу к линейной, и найдите для нее оптимальное решение. Сравните отчеты по устойчивости для линейной и нелинейной задач.

5. Имеются данные о доходности акций компаний (в процентах) за последние 22 года. Постройте инвестиционный портфель для трех активов A, Б и C, используя портфельную модель Марковица. Максимальная доля каждого из активов в портфеле не должна превышать 75 процентов. Постройте диаграмму эффективных портфелей и на основании полученной диаграммы примите решение о распределении инвестиций.

Год	Доходность %	Год	Доходность %
актив А	актив Б	актив С	актив А	актив Б	актив С

С целью повышения стабильности инвестиций инвестор желает, чтобы доля каждого из активов в портфеле инвестиций не превышала 65 %. Доходность портфеля должна быть не ниже 21 %.

а) Используя модель Марковица, составьте оптимальный портфель инвестиций, удовлетворяющий перечисленным выше условиям.

б) Постройте диаграмму эффективных портфелей в осях координат ожидаемая доходность – дисперсия портфеля.

6. В начале каждого из четырех последовательных лет инвестор имеет возможность вложить средства в один из двух проектов, обозначенных А и B. В начале второго года появляется третья инвестиционная возможность – инвестиции в строительство. Данные о прибыльности проектов приведены в таблице.

Проект	Прибыль на инвестированный доллар
A	1,50
B	1,80
Строительство	1,20

Каждый доллар, вложенный в проект A, дает доход через 2 года (как раз вовремя для повторного реинвестирования). Доллар, вложенный в проект B, дает доход через три года. Доллар, вложенный в строительство, дает доход через год (эта возможность сохраняется в третьем и четвертом году). Стартовый капитал инвестора в начале первого года составляет 50000 и он хочет получить максимальную сумму к концу четвертого года. Составьте математическую и табличную модель задачи и найдите оптимальное решение.

7. Кинокомпания и телекомпания хотят получить эксклюзивные права на экранизацию нового романа популярного автора. Если автор продаст права телекомпании, то он получит одноразовую фиксированную сумму в размере 900 тыс. руб. Если же он продаст права кинокомпании, то размер гонорара будет зависеть от прокатного успеха фильма (см. таблицу).

Решение	Состояние природы
Малый успех	Средний успех	Большой успех
Продать права кинокомпании
Продать права телекомпании

Кому автор должен продать права на свой роман, если вероятность малого успеха картины оценивается как 0,3, среднего – 0,6, а большого –0,1? Проверьте полученный результат, построив дерево решений (можно воспользоваться надстройкой Treeplan.xla).

8. Используя аналитический иерархический процесс, помогите абитуриенту правильно выбрать вуз (УрАГС или УрГУ), если анализируются три критерия: престижность вуза (возможность работы по специальности после окончания), возможность получения стипендии (перспективы обучения без троек), качество общежития (удаленность от места проживания для городских жителей). Все матрицы попарных сравнений записать по своему усмотрению.

9. Для функций , сравните поведение двух моделей динамики цены на товар: , когда спрос опережает предложение и , когда предложение опережает спрос. Постройте графическую схему итерационного процесса, для этих двух моделей. Одинаково ли поведение моделей? Получите аналитическую интерпретацию численному решению.

10. В условиях дуополии Курно рыночный спрос задается соотношением , а каждая фирма имеет постоянные предельные издержки, равные 10. Найдите объем производства каждой фирмы в состоянии равновесия.

Дата добавления: 2015-09-29