Домашняя самостоятельная работа по курсу

Домашняя самостоятельная работа по курсу

«Математические модели в экономике и управлении».

Вариант №3

1. Производственная система производит 100 единиц продукта за некоторый период при затратах 20 единиц труда и 40 единиц капитала. Коэффициенты эластичности по труду и капиталу постоянны и равны 0,75 и 0,25. Найти предельную норму замещения труда капиталом и оценить затраты капитала при увеличении затрат труда на 2 единицы при условии постоянства выпуска продукции.

2. Сфера производства некоторой экономической системы состоит из двух отраслей. Найти оптимальный режим работы этих отраслей, обеспечивающих максимальный прибавочный продукт, при условии сохранения его структуры, заданной столбцом . Взаимосвязь отраслей производства определяется матрицей технологических коэффициентов , а трудоемкость производства единицы продукции в каждой из отраслей – вектором – строкой :

, ,

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 20, мощность второй отрасли не превосходит 11, а общее число рабочих .

3. Компания, производящая стиральный порошок, хочет выпустить на рынок новый продукт. На рекламную компанию в первый месяц продвижения продукта на рынок выделено 80000 долларов. Компания обратилась за помощью в рекламное агентство, которое предоставило следующие данные о воздействии рекламы на целевую аудиторию:

Размещение рекламы	Число единиц товара, купленных благодаря рекламе	Стоимость одного рекламного объявления, долл.
Дневное радио
Вечернее ТВ
Ежедневная газета

В рекламное агентство располагает информацией о снижении степени воздействии рекламы при ее многократном повторении. В частности, в агентстве считают, что на дневном радио эффективность первых 5 рекламных объявлений можно оценить 60 баллами, следующих 5-ти – 40 баллами, а всех последующих – 20 баллами. Таблица эффективности рекламных объявлений в различных СМИ приведена ниже.

Размещение рекламы	Первые 5 объявлений	Следующие 5 объявлений	Остальные объявления
Дневное радио (1)
Вечернее ТВ (2)
Ежедневная газета (3)

Фирма-производитель стирального порошка сформулировала и некоторые дополнительные условия: а) в каждом СМИ должно быть размещено не более 25 объявлений; б) общими усилиями всех СМИ объем продаж должен возрасти на 2000000 единиц товара; в) не мене четверти всех рекламных объявлений должно быть сделано дневном радио.

а) Запишите математическую модель задачи.

б) Постройте табличную модель, позволяющую получить интерпретируемый отчет по устойчивости.

в) Проверьте, проводя повторную оптимизацию, правильность интерпретации теневых цен ограничений и нормированной стоимости переменных.

4. Имеются данные о доходности акций компаний (в процентах) за последние 12 лет.

Сибнефть	УГМК	Год
30,0%	22,5%
10,3%	29,0%
21,6%	21,6%
-4,6%	-27,2%
-7,1%	14,4%
5,6%	10,7%
3,8%	32,1%
8,9%	30,5%
9,0%	19,5%
8,3%	39,0%
3,5%	-7,2%
17,6%	71,5%

С целью повышения стабильности инвестиций инвестор желает, чтобы доля каждого из активов в портфеле инвестиций не превышала 75 %. Доходность портфеля должна быть не ниже 15 %.

а) Используя модель Марковица, составьте оптимальный портфель инвестиций, удовлетворяющий перечисленным выше условиям.

б) Постройте диаграмму эффективных портфелей в осях координат ожидаемая доходность – дисперсия портфеля.

5. Имеется пять проектов, конкурирующих между собой за получение инвестиционных фондов компании. В таблице представлены средства, которые будут получены при инвестиции одного доллара в различные проекты по годам.

Год	Эффективность инвестиционного проекта на один вкладываемый доллар
A	B	C	D	E
Первый	–1,00		–1,00	–1,00
Второй	0,30	–1,00	1,10
Третий	1,00	0,30			–1,00
Четвертый		1,00		1,75	1,40

Максимальная сумма, которая может быть вложена в проект A в первый год, составляет 500000 долларов. Деньги, полученные в результате инвестиций можно реинвестировать в соответствии с предложенной схемой. Кроме того, компания может получать 6 % годовых за краткосрочный вклад всех денег, которые не были вложены в инвестиции в данном году. У компании имеется 1000000 долларов для инвестиции. Ставится задача максимизировать сумму средств, накопленных компанией к конечному периоду.

6. Компания «Российский сыр» – небольшой производитель различных продуктов из сыра на экспорт. Один из продуктов – сырная паста поставляется в страны ближнего зарубежья. Генеральный директор должен решить, сколько ящиков сырной пасты следует произвести в течение месяца. Вероятности тог, что спрос на сырную пасту будет 60, 70, 80, или 90 ящиков, равны соответственно 0,1; 0,3; 0,5; 0,1. Затраты на производство одного ящика сырной пасты составляют 4500 долларов. Компания продает каждый ящик по оптовой цене 9500 долларов. Если ящик не продается в течение месяца, то продукт портится, и реализации не подлежит. Сколько ящиков сырной пасты следует произвести в течение месяца? При принятии решения следует оценить риски. Сформулируйте обоснование критерия принятия решения. Какую максимальную цену директор может заплатить за достоверную информацию об объеме поставки продукции?

7. Производственное предприятие производит лодочные моторы. Экономические характеристики производственного процесса приведены в таблице

Наименование показателя	Урал	Пермь	Товарные запасы, т
Оптовая цена, тыс. руб./шт.			–
Себестоимость, тыс. руб./шт.			–
Расход стали, т на 1000 шт.
Расход алюминия, т на 1000 шт.

Маркетинговые исследования показали, что спрос на лодочные моторы марки Пермь составляют не менее тысячи в год. Найти оптимальное решение по годовому производству лодочных моторов, удовлетворяющее следующим условиям: а) прибыль и количество выпускаемых моторов должны быть максимальными; б) себестоимость производства должна быть минимальной.

8. Предположим, что для строительства предварительно были отобраны три площадки: А, В, К. Требуется выбрать площадку, которая была оптимальной по следующим критериям:

Стоимость строительства;

Время в пути от центра города до аэропорта;

Количество людей, подвергающихся шумовым воздействиям;

Матрица сравнений для критериев, составленная экспертами

Критерии	С1 Стоимость	С2 Время в пути от центра города	С3 Количество людей, подверг-сяшумовому воздействию
С1 Стоимость
С2 Время в пути от центра города	1/5
С3 Количество людей, подвергающихся шумовому воздействию	1/3	1/3

Матрицы сравнений площадок по критериям стоимость, удаленность, шумовое воздействие.

Сравнение по стоимости
Альтернатива	А	В	К
А
В	1/7
К	1/3	1/3
Сравнение по расстоянию от центра
А		1/7	1/5
В
К		1/3
Сравнение по критерию шумового воздействия
А
В	1/5		1/5
К	1/5

Требуется на основании этих данных дать заключение о выборе одной из строительных площадок.

9. Функция долговременного спроса и предложения от цены на мировом рынке нефти имеют, соответственно, вид: , . Найдите

а) равновесную цену на нефть:

б) Построите динамику изменения цен на ближайшие 20 лет, используя модели , . Дайте численное и графическое решения. Проверьте, зависит ли характер решения от начальной цены.

в) В каких пределах будет происходить колебание цен, если функции спроса и предложения будут иметь вид , .

г) При каких значениях рассмотренные выше две модели изменения цены на товар: и , дают одинаковый результат. , . Решение получите как подбором параметра , так и аналитически.

10. Цена на товар описывается уравнением . Функция общих издержек фирмы (каждой из фирм) равна . Найдите равновесную цену и равновесный объем производства

а) в условиях монополии;

б) в условиях дуополии Курно

Дата добавления: 2015-09-29