& $ Уроев стр. 64 –65. Принцип Дюамеля дает решение задачи Коши

2001/2002 21

5…

, , , .

& $! Уроев стр. 47 –57 (пример 2 стр.51 –54)

& $ Уроев стр. 64 –65. Принцип Дюамеля дает решение задачи Коши

, , ,

, ,

, ,

L

J Воспользуемся линейностью задачи (на практике можно избежать вычисления интеграла Дюамеля, если удастся подобрать частное решение неоднородного уравнения):

 Сведем ДУ к однородному уравнению:

- желательно, но не обязательно[1]

Т.к. - собственная функция оператора Лапласа D:

,

отвечающая собственному значению 9, то имеет смысл искать в виде:

,

где - неизвестная функция времени. Из ДУ вытекает, что функция удовлетворяет уравнению и НУ:

- желательно, но не обязательно

Общее решение последнего (обыкновенного) ДУ имеет вид:

,

где ищем в виде: .

Подставляя последнее выражение в ДУ для f, получаем:

откуда[2]

® ® ®

Из НУ для f: ® ® ® ,

или, из любви к искусству: ® ® ®

(1)

‚ Поставим задачу Коши для однородного уравнения:

(2)

Снова воспользуемся линейностью однородного ДУ и будем искать решение в виде суммы трех функций:

,

которые являются решениями соответствующих задач:

V Т.к. , то - собственная функция оператора Лапласа, следовательно, V имеет смысл искать в виде:

,

где - неизвестная функция времени. Из ДУ для V вытекает, что функция удовлетворяет задаче:

общее решение которой имеет вид . Из НУ , т.о. .

W

I способ Замечая, что , воспользуемся формулой Даламбера[3]:

II способ Замечая, что , но, забыв формулу Даламбера, решение будем искать в виде: из НУ: Интегрируя второе уравнение: ®

III способ Рассмотрим, как действует оператор Лапласа на : , , т.к. - собственная функция оператора Лапласа, то решение будем искать в виде: . ®[4] или -резонанс L Подставляя в ДУ для f, получаем , , т. е. из НУ: ® и

G Решение будем искать в виде[5]:

[6]

Подставляя в ДУ для G, получаем

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях t:

Ответ:

[1] Если это условие не будет выполнено, то надо не забыть провести корректировку НУ для .

[2] Т.к. функции 1, t, t ² – линейно независимы, то последнее равенство возможно, если равны коэффициенты при соответствующих степенях t.

[3] Уроев стр. 41:

[4] См. выше задачу для . Здесь просто повезло.

[5] Другие способы решения см. Уроев стр. 52-54 (пример 2 пункт б)

[6] Можно было воспользоваться результатом решения задачи 12.30:

12.30

Найти решение задачи Коши: , , , если , , .

Ответ:

Дата добавления: 2015-09-29