Интегрирование иррациональных функций.

Лабораторная работа 4

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.

Некоторые часто встречающиеся интегралы от иррациональных функций можно вычислить методом рационализации подынтегральной функции. Этот метод заключается в отыскании такой подстановки, которая преобразует исходный интеграл в интеграл от рациональной функции. Для некоторых важнейших классов иррациональных функций существуют специальные подстановки, с помощью которых и удаётся осуществить рационализацию интеграла.

1 Интегралы типа и – рациональная функция аргументов , сводятся к интегралам от рациональной функции подстановкой , где n – наименьшее общее кратное знаменателей дробей .

1 Найти интегралы:

1 а) ; б) ; в) ;

2 а) ; б) ; в) ;

3 а) ; б) ; в) ;

4 а) ; б) ; в) ;

5 а) ; б) ; в) ;

6 а) ; б) ; в) ;

7 а) ; б) ; в) ;

8 а) ; б) ; в) ;

9 а) ; б) ; в) ;

10 а) ; б) ; в) .

2 Интегралы типа приводятся к интегралам от рациональной функции с помощью подстановки где n – наименьшее общее кратное знаменателей дробей α, β, γ.

2 Найти интегралы

1 а) ; б) ; в) ;

2 а) ; б) ; в) ;

3 а) ; б) ; в) ;

4 а) ; б) ; в) ;

5 а) ; б) ; в) ;

6 а) ; б) ; в) ;

7 а) ; б) ; в) ;

8 а) ; б) ; в) ;

9 а) ; б) ; в) ;

10 а) ; б) ; в) .

3 Интегрирование дифференциального бинома

Интегралы типа , где , , берутся только в случае, когда хотя бы одно из чисел p, , является целым.

В этих случаях интеграл сводится к интегралу от рациональной функции следующими приемами:

1) если p – целое число, тогда применяется подстановка , где s – наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n;

2) если - целое число. Здесь следует применить подстановку , где s – знаменатель дроби p;

3) если - целое число. В этом случае применяют подстановку , где s – знаменатель дроби p.

3 Найти интегралы

1 ; 6 ;

2 ; 7 ;

3 ; 8 ;

4 ; 9 ;

5 ; 10 .

4 Интегралы типа сводятся к интегралам от рациональных функций подстановками Эйлера:

, где x₁ и x₂ – корни квадратного трёхчлена.

Знаки в правых частях неравенств можно брать в любых комбинациях.

Подстановки Эйлера приводят к довольно сложным интегралам от рациональных функций, поэтому в некоторых частных случаях рекомендуется применять более простые приемы:

1) Интегралы типа , , приводятся к табличным (первые два интеграла) или к сумме двух табличных (третий интеграл), если под знаком корня выделить полный квадрат и сделать замену .

2) Интегралы типа , где – многочлен степени n, можно вычислять, пользуясь формулой

, (1)

где – многочлен степени с неопределёнными коэффициентами, l – также неопределенный коэффициент.

Все неопределенные коэффициенты находятся из тождества, получаемого дифференцированием обеих частей равенства (1):

,

после чего необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях .

3) В интеграле удобна подстановка .

4) В интеграле делается замена .

5) В интеграле где и – многочлены, дробь представляется в виде суммы простейших.

6) Интегралы типа , , вычисляются с помощью тригонометрических подстановок:

подстановка ;

подстановка ;

подстановка .

Интегралы типа можно находить и таким способом. Сначала, выделением под корнем полного квадрата и подстановкой , интегралы указанного типа приводятся к интегралам типа 6). А затем вычисляются с помощью соответствующих тригонометрических подстановок.

4.1 Найти интегралы:

1 а) ; б) ;

2 а) ; б) ;

3 а) ; б) ;

4 а) ; б) ;

5 а) ; б) ;

6 а) ; б) ;

7 а) ; б) ;

8 а) ; б) ;

9 а) ; б) ;

10 а) ; б) .

4.2 Найти интегралы:

1 а) ; б) ; в) ;

2 а) ; б) ; в) ;

3 а) ; б) ; в) ;

4 а) ; б) ; в) ;

5 а) ; б) ; в) ;

6 а) ; б) ; в) ;

7 а) ; б) ; в) ;

8 а) ; б) ; в) ;

9 а) ; б) ; в) ;

10 а) ; б) ; в) .

4.3 Вычислить интегралы, используя тригонометрические подстановки:

1 а) ; б) ;

2 а) ; б) ;

3 а) ; б) ;

4 а) ; б) ;

5 а) ; б) ;

6 а) ; б) ;

7 а) ; б) ;

8 а) ; б) ;

9 а) ; б) ;

10 а) ; б) .

Дата добавления: 2015-08-29