1.Понятие обычного дифференциального уравнения.

1.Понятие обычного дифференциального уравнения.

(ОДУ) — это уравнения, зависящие от одной независимой переменной; они имеют вид

или

где — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной штрих означает дифференцирование по Число называется порядком дифференциального уравнения. Наиболее практически важными являются дифференциальные уравнения первого и второго порядка.

2.Уравнение с разделяющими переменными.

Дифференциальное уравнение первого порядка y' = f (x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f (x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y:

где p (x) и h (y) − непрерывные функции.

Рассматривая производную y' как отношение дифференциалов , перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h (y):

Разумеется, нужно убедиться, что h (y) ≠ 0. Если найдется число x ₀, при котором h (x ₀) = 0, то это число будет также являться решением дифференциального уравнения. Деление на h (y) приводит к потере указанного решения.
Обозначив , запишем уравнение в форме:

Теперь переменные разделены и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение:

где C − постоянная интегрирования.
Вычисляя интегралы, получаем выражение

описывающее общее решение уравнения с разделяющимися переменными.

3.Однородное уравнение Такое уравнение после исключения отдельно рассматриваемого случая и деления уравнения на сводится с помощью замены к алгебраическому уравнению -ой степени

4.Линейное не однородное уравнение 1-го порядка.

Линейное уравнение первого порядка в стандартной записи имеет вид:

Что мы видим?
1) В линейное уравнение входит первая производная .
2) В линейное уравнение входит произведение , где – одинокая буковка «игрек» (функция), а – выражение, зависящее только от «икс».
3) И, наконец, в линейное уравнение входит выражение , тоже зависящее только от «икс». В частности, может быть константой.

5.Уравнение Бернулли.

называется уравнением Бернулли (при или получаем неоднородное или однородное линейное уравнение). При является частным случаем уравнения Риккати. Названо в честь Якоба Бернулли, опубликовавшего это уравнение в 1695 году. Метод решения с помощью замены, сводящей это уравнение к линейному, нашёл его брат Иоганн Бернулли в 1697 году.

Метод решения

Разделим все члены уравнения на

Получим

Делая замену

и дифференцируя, получаем:

Это уравнение приводится к линейному:

и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.

6.Независимость функций. Определитель Вронского.

Пусть имеем конечную систему из функций , определенных на интервале . Функции называют линейно зависимыми на интервале , если существуют постоянные , не все равные нулю, такие, что для всех значений из этого интервала справедливо тождество

Если же это тождество выполняется только при , то функции называют линейно независимыми на интервале .

Опр.Вронского.

Вронскиа́н (определитель Вронского) системы функций , дифференцируемых на промежутке (n-1)-раз — функция на , задаваемая определителем следующей матрицы:

.

Также вронскианом называют функцию, заданную определителем более общего вида. А именно, пусть задано n вектор-функций с n компонентами: . Тогда определитель будет выглядеть так (чтобы избежать разночтений обозначим его ):

.

7.Линейное однородное Дифф уравнение с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

,

где – вещественные постоянные.

Для нахождения общего решения уравнения (8) поступаем так. Составляем характеристическое уравнение для уравнения (8):

Пусть - корни уравнения (9), причем среди них могут быть и кратные. Возможны следующие случаи:

а) - вещественные и различные. Общим решением однородного уравнения будет ;

б) корни характеристического уравнения вещественные, но среди них есть кратные, т.е. , тогда общее решение будет

в) если корни характеристического уравнения комплексные (k=a±bi), то общее решение имеет вид .

8. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами —

• — искомая функция,
• — её -тая производная,
• — фиксированные числа,
• — заданная функция (когда , имеем линейное однородное уравнение, иначе — линейное неоднородное уравнение).

Если дано частное решение неоднородного уравнения , и — фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение уравнения задается формулой

где — произвольные постоянные.

9.—

10.—

Дата добавления: 2015-08-29