1.Матем програмир бум назыв разработку способов нахождения экстремумов ф-ции неск переменных при ограничении на эти переменные <>= z=f(x1,x2,..,xn)—extr(1) {фи I (x1,x2,..xn) {<= >=

1. Матем програмир бум назыв разработку способов нахождения экстремумов ф-ции неск переменных при ограничении на эти переменные <>=
z=f(x1,x2,..,xn)—extr(1)
{фи I (x1,x2,..xn) {<= >= =(как система)(2) где i=1,2..m(3)

Если ф-я ф(х1..хн) и ф-я фи(х1,..хн),где и=1…м линейна,то задача 1-3 назыв задачей линейного программирования.если 1 из ф-ций ф или фи не линейна,то задача 1-3 назыв задачей нелинейного программир.если ф-ция фи линейна а ф-ция ф явл квадратич,то задачи 1-3 назыв Зквадратич П. Если ф-ция фи и=1..м линейна,а ф-ция ф представл частное 2-х лмнейных ф-ций,то задача 1-3 назыв Здробно линейного П.Если хоть 1 из ф-цй ф или фи содержит 1 или более число параметров,то задача1-3 назыв параметрич программир задачей. Если на все или часть переменных задач 1-3 наложено требование целочислености,то задачи 1-3 назыв Зцелочисленного П.

2. общая и каноническая ЗЛП. Переход от общей задачи к канонической.

Общая идея перехода от ОЗЛП к КЗЛП достаточно проста:ограничения в виде неравенств преобразуются в уравнения за счет добавления фиктивных неотрицательных переменных

хi, (i Î 1:m), которые одновременно входят в целевую функцию с коэффициентом 0, т. е. не оказывают влияния на ее значение;

Общий вид:

Переход от от общей к канонической. Любое ограничение в форме неравенства введением дополнительной неотрицательной переменной может превратиться в ограничение – равенство. Так, к примеру, условие

a_i1x₁ +a_i2x₂+…+a_inx_n £ b_i

эквивалентно двум ограничениямa_i1x₁ +a_i2x₂+…+a_inx_n+x_n+1= b_i, x_n+1³0.

Переменные типа x_n+1 называют фиктивными или дополнительными

23. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема и следствия из нее.

Под законом больших чисел и понимается совокупность предложений, в которых утверждается, что с вероятностью, как угодно близкой к единице (или нулю), произойдет событие, зависящее от очень большого, неограниченно увеличивающегося числа случайных событий, каждое из которых оказывает на него лишь незначительное влияние. Неравенство Чебышева.

Вероятность того, что отклонение случайной величины кси от ее математического ожидания превзойдет по абсолютной величине положительное число, не больше дроби, числитель которой - дисперсия случайной величины, а знаменатель - квадрат кси Закон больших чисел в форме Чебышева)

Если дисперсии независимых случайных величин кси1 кси 2 ксин ограничены одной константой С, а число их достаточно велико, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превзойдет по абсолютной величине данного положительного числа кси, каким бы малым оно ни было:
Центр теорема:Если независимые случайные величины кси 1кси2 кси н имеют конечные математические ожидания м1м2мни конечные д1д2дн дисперсии, число их достаточно велико, а при неограниченном возрастании н. их сумма кси распределена приближённо по норм закону кси волна N(n*a,корень квадратный из n*G

25. Статистический ряд, интервальный статистический ряд, статистическое распределение.

1) Вариационным (статистическим) рядом называется таблица, первая строка которой содержит в порядке возрастания элементы , а вторая – их частоты (относительные частоты ).

2) Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причём наблюдалось раз, раз, раз и – объём выборки. Наблюдаемые значения называются вариантами, а последовательность вариантов, записанных в возрастающем порядке, - вариационным (статистическим) рядом.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариантов и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал). Полигон и гистограмма статистического ряда.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки , , …, .

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки , , …, . (, где n – объём выборки).

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению (плотность частоты).

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению (плотность относительной частоты).

Эмпирическая функция распределения и её основные свойства.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения x относительную частоту события X< x. Итак, по определению, , где – число вариантов, меньших x; n – объём выборки.

Свойства: 1) Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0,1].

2) – неубывающая функция.

3) если – наименьший вариант, то если – наибольший вариант, то , при .

8..Динамическое программирование – это математический метод поиска оптимального управления, специально приспособленный к многошаговым процессам.Выдел нек особенности:
1)в задача рассм системы,сост которой на каждом шаге опред вектором хи,где и изм от 1..н. 2) на каждом шаге выбирается одно решение(уравнение)уи где и изим от 1..н под действием которго система переходит из состоян хи-1в хи.3) действие на каждом этапе свях с опред выйгрышем или издержками,котор завясят от начала этапа хи-1 и принятого решения уи.zi=zi)xi-1;ui) i=1..n. 4) цеелвая ф-ция в задачах на всех н этапах имеет либо аддитильный вид z=сумма от i=1до n zi(xi-1)ui), либо мультипликативный вид z=Пот i=1до n zi(xi-1)ui),5)на векторы состояния и управления могут быть наложены ограничения объедин которых составл область допустимых решений задач (x,u)принадлеж амега6) требуется найти такие допустимые уравнения ui,i=1..n для каждого шага i,чтобы получить экстремальные значения целевой ф-ции за все н этапов.
2 принципа ДП:принцип оптимальности Беллмана.(оптим. Стратегия обладает таким свойством,что каковыми бы не были качест состоян и нач. реешния,последов решения должны приниматься исходя из оптимальной стратегии

Принцип инвариантного погружения(природа задачи допускающего использ метода динамич пр-я не изм при изменении кол-ва шагов н,т.к форма задачи инвариантна относительно н,т.о. конкретный процесс оказ.погружённым в семейство подобных ему процессов..

9. Задача выбора кратчайшего пути на транспортной сети.
пусть есть кол-во пунктов,котор изображ кружками с номерами.при это некоторые соед стрелками.над стрелкой пит=шут длину дороги цифру.Особенности:1)на сети есть ток 1 пункт,куда не ведёт ни 1 дорога(эт нач пункт)2) на сети есть ток 1 пунк из которого не выходит ни 1 дорога это конечный пункт.3)на сети не должно быть циклов,кот начинаются изаканч в 1 пункте.

26. Статистическая оценка неизвестных параметров распределения. Виды оценок.

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин. Виды: несмещённая, смещённая, эффективная, состоятельная.

Классификация точечных оценок (состоятельные, несмещённые, эффективные).

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

Несмещённой называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объёме выборки, т.е. .

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объёме выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию.

Выборочное среднее и свойство устойчивости среднего.

Выборочным средним называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности. Если все значения , , …, признака выборки объёма n различны, то

. Если же значения признака , , …, имеют соответственно частоты , , …, , причём + +…+ =n, то , .

При увеличении объёма выборки n выборочное среднее стремится по вероятности к генеральному среднему, а это означает, что выборочное среднее есть состоятельная оценка генерального среднего. Из сказанного следует также, что если по нескольким выборкам достаточно большого объёма из одной и той же генеральной совокупности будут найдены выборочные средние, то они будут приближенно равны между собой. В этом и состоит свойство устойчивости выборочных средних.

10. Теория вероятностей. Основные определения.Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события. Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате опыта или испытания. Под опытом, или испытанием, понимается осуществление определённого комплекса условий.

Примеры событий:

– попадание в цель при выстреле из орудия (опыт — произведение выстрела; событие — попадание в цель);

– выпадение двух гербов при трёхкратном бросании монеты (опыт — трёхкратное бросание монеты; событие — выпадение двух гербов);

– появление ошибки измерения в заданных пределах при измерении дальности до цели (опыт — измерение дальности; событие — ошибка измерения). Различают события совместные и несовместные. События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого. В противном случае события называются несовместными. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта.Событие называется невозможным, если оно не может произойти в условиях данного опыта. Событие называется возможным, или случайным, если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться. Под противоположным событием понимается событие, которое обязательно должно произойти, если не наступило некоторое событие. Противоположные события несовместны и единствен

но возможны. Они образуют полную группу событий. Суммойнескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий. Произведением, или пересечением, нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

24.. Основные задачи математической статистики.

1) Указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.

2) Разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования.

Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределённости. Итак, задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

Выборкой назыв сов-ть случ. Отобран.объектов.Генеральн сов-тью назыв сов-ть объектов из которой произв выборка.Объём сов-ти назыв число объектов этой сов-ти.Выборкой с повторением назыв такую выборку при которой отобран объект перед отбором след возвр в генер сов-ть.Выборкой без повторения назыв выборка при которой объект перед отбором следующего не возвр в ген сов-ть.Если выборка правильно представл пропорции ген сов-ти то она назыв репрезентативной.

16. Локальная формула Муавра-Лапласа. Привести пример.

Если в схеме независимых испытаний Бернулли число испытаний n велико, а вероятности успеха и неудачи не малы (например, 0,1<p<0,9), то вероятность P_n(m) появления ровно m успехов в n испытаниях вычисляется по формуле (локальная теорема Муавра-Лапласа):

P_n(m)= где j(х)= . Функция j(х) – четная и для положительных значений х составлена таблица ее значений.

Пример. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле р=0,75. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит мишень 8 раз.

Интегральная формула Муавра-Лапласа.
Если в схеме Бернулли p существенно отличается от 0 и 1, а n достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит не менее раз, но менее раз, вычисляется по интегральной формуле Муавра-Лапласа:

, где – функция Лапласа, , , причём Ф(-х)=-Ф(х), Ф(х)≈0,5 при х≥5.

Формулы Муавра-Лапласа, как правило, используются, если 0,1<p<0,9, и дают хорошие результаты, если npq велико (>=20).

Пример. Вероятность появления события А в каждом из 600 независимых испытаний равна 0,6. Найдите вероятность того, что событие А в этих испытаниях наступит не менее 330 и не более 375 раз.

Формула Пуассона. Привести пример.
Если в схеме Бернулли вероятность p появления события А в каждом из n независимых испытаний очень мала, а число испытаний n достаточно велико, то вероятность вычисляется приближенно по формуле Пуассона: , a=n·p.

Эту формулу обычно применяют в тех случаях, когда а ≤ 10.

Пример. Среди семян ржи 0,04% сорняков. Какова вероятность, что при случайном отборе 5000 семян обнаружить ровно 5 семян сорняков.

Закон распределения Пуассона. Случайная величина , распределенная по закону Пуассона, принимает бесконечное счетное число значений: 0, 1, 2, …, m, …, с соответствующими вероятностями, определяемыми по формуле Пуассона

При и биномиальный закон распределения приближается к закону распределения Пуассона, где a=np

Математическое ожидание M(ξ) = Дисперсия D(ξ) = a.

Пример: число родившихся за определённый период близнецов, число опечаток в большом тексте.

11. Классическое определение вероятности. Привести пример.
Вероятность события равна отношению числа случаев , благоприятствующих ему, из общего числа единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев к числу , т. е.

(.)

Пример вопросу №4. Из набора, содержащего 10 одинаковых на вид электроламп, среди которых 4 бракованных, случайным образом выбирается 5 ламп. Какова вероятность, что среди выбранных ламп будут 2 бракованные?

12. Геометрическая вероятность. Привести пример.
Пусть на плоскости задана некоторая область площадью , в которой содержится другая область площадью (рис. 3). В область наудачу бросается точка. Чему равна вероятность того, что точка попадет в область ? При этом предполагается, что наудачу брошенная точка может попасть в любую точку области , и вероятность попасть в какую-либо часть области пропорциональна площади части и не зависит от ее расположения и формы. В таком случае вероятность попадания в область при бросании наудачу точки в область

Таким образом, в общем случае, если возможность случайного появления точки внутри некоторой области на прямой, плоскости или в пространстве определяется не положением этой области и ее границами, а только ее размером, т. е. длиной, площадью или объемом, то вероятность попадания случайной точки внутрь некоторой области определяется как отношение размера этой области к размеру всей области, в которой может появляться данная точка.Это есть геометрическое определение вероятности.

28. Статистическая гипотеза— это определённое предположение o распределении вероятностей, лежащем в основе наблюдаемой выборки данных.

Проверка статистической гипотез — это процесс принятия решения о том, противоречит ли рассматриваемая статистическая гипотеза наблюдаемой выборке данных. Методика состоит в следующем.

Формулируется нулевая гипотеза Hо распределении вероятностей на множестве X. Гипотеза формулируется исходя из требований прикладной задачи. Чаще всего рассматриваются две гипотезы — основная или нулевая H0 и альтернативнаяH1. 2)Задаётся некоторая статистика (функция выборки) T:X^mстрелка IR, для которой в условиях справедливости гипотезы H0 выводится функция распределения F(T). и/или плотность распределения p(T).3)Фиксируется уровень значимости — допустимая для данной задачи вероятность ошибки первого рода, то есть того, что гипотеза на самом деле верна, но будет отвергнута процедурой проверки. Это должно быть достаточно малое число альфа принадлежит [0,1]. На практике часто полагают альфа=0.05.

4)На множестве допустимых значений статистики Т выделяется критическое множество амега альфа наименее вероятных значений статистики Т, такое, что Р{Tпринадлежит амега альфа|H0}=альфа. Вычисление границ критического множества как функции от уровня значимости альфа является строгой математической задачей, которая в большинстве практических случаев имеет готовое простое решение.

5.Собственно статистический тест (статистический критерий) заключается в проверке условия:

Если T(X^m)принадлежит амега альфа, то делается вывод «данные противоречат нулевой гипотезе при уровне значимости альфа». Гипотеза отвергается.

Если T(X^m)не принадлежит амега альфа, то делается вывод «данные не противоречат нулевой гипотезе при уровне значимости альфа». Гипотеза принимается.

30. Корреляционный момент и коэффициент корреляции. Свойства коэффициента корреляции.

Корреляционным моментом случайных величин X и Y называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин: .

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических этих величин:

.

Св-во 1. Коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю (т.к. )

Св-во 2. Абсолютная величина коэф-та корреляции не превышает единицы: .

Метод наименьших квадратов. — один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные ошибки.

Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений.

Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например, длина отрезка или угол, то, для увеличения точности, измерение производится много раз, и за окончательный результат берут арифметическое среднее из всех отдельных измерений. Это правило арифметической середины основывается на соображениях теории вероятностей; легко показать, что сумма квадратов уклонений отдельных измерений от арифметической середины будет меньше, чем сумма квадратов уклонений отдельных измерений от какой бы то ни было другой величины. Само правило арифметической середины представляет, следовательно, простейший случай метода наименьших квадратов. Эмпирическая линейная регрессия.

Регрессио́нный (линейный) анализ — статистический метод исследования зависимости между зависимой переменной Y и одной или несколькими независимыми переменными X ₁, X ₂,..., X_p. Независимые переменные иначе называют регрессорами или предикторами, а зависимые переменные — критериальными. Терминология зависимых и независимых переменных отражает лишь математическую зависимость переменных, а не причинно-следственные отношения.

Цели регрессионного анализа

1. Определение степени детерминированности вариации критериальной (зависимой) переменной предикторами (независимыми переменными)

2. Предсказание значения зависимой переменной с помощью независимой(-ых)

3. Определение вклада отдельных независимых переменных в вариацию зависимой

Регрессионный анализ нельзя использовать для определения наличия связи между переменными, поскольку наличие такой связи и есть предпосылка для применения анализа.

Математическое определение регрессии

Строго регрессионную зависимость можно определить следующим образом. Пусть

Y, X ₁, X ₂,..., X_p — случайные величины с заданным совместным распределением вероятностей. Если для каждого набора значений X ₁ = x ₁, X ₂ = x ₂,..., X_p = x_p определено условное математическое ожидание

y (x ₁, x ₂,..., x_p) = E (Y | X ₁ = x ₁, X ₂ = x ₂,..., X_p = x_p) (уравнение линейной регрессии в общем виде), то функция y (x ₁, x ₂,..., x_p) называется регрессией величины Y по величинам X ₁, X ₂,..., X_p, а её график — линией регрессии Y по X ₁, X ₂,..., X_p, или уравнением регрессии.

Зависимость Y от X ₁, X ₂,..., X_p проявляется в изменении средних значений Y при изменении X ₁, X ₂,..., X_p. Хотя при каждом фиксированном наборе значений

X ₁ = x ₁, X ₂ = x ₂,..., X_p = x_p величина Y остаётся случайной величиной с определённым рассеянием.

Для выяснения вопроса, насколько точно регрессионный анализ оценивает изменение Y при изменении X ₁, X ₂,..., X_p, используется средняя величина дисперсии Y при разных наборах значений X ₁, X ₂,..., X_p (фактически речь идет о мере рассеяния зависимой переменной вокруг линии регрессии).

15. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Привести пример.
Последовательность n независимых в совокупности испытаний называется схемой Бернулли, если при каждом испытании возможны только два исхода: появление события А (успех) и его непоявление (неуспех), причём вероятность появления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна p.

В схеме Бернулли вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит ровно m раз, вычисляется по формуле Бернулли:

, где q=1-p; ; n!=n·(n-1)·…·2·1, 0!=1.

Пример. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. По мишени производится шесть независимых выстрелов. Найдите вероятность хотя бы одного попадания в мишень.

4. симплекс-метод решения ЗЛП: идея метода и построение первоначального базисного плана. Симплексная таблица. идея заключается в том, что, начиная с некоторого исходного невырожденного базисного плана, осуществляется последовательно направленное перемещение по опорным решениям задачи – вершинам ОДР к оптимальному плану. При этом значение целевой функции для задач на максимум не убывает. Через конечное число шагов получим оптимальное решение или установим неограниченность целевой функции на ОДР. Допустим, имеется исходная ЗЛП в канонической форме:
F(X)=c₁X₁+c₂X₂+...+c_nX_n => maxa_1,1X₁+a_1,2X₂+...+a_1,nX_n=b₁
a_2,1X₁+a_2,2X₂+...+a_2,nX_n=b₂
.....................
a_m,1X₁+a_m,2X₂+...+a_m,nX_n=b_mВ общем случае m любых переменных можно выразить через оставшиеся (n-m) переменных, например - X₁...X_m через X_m+1...X_n: X₁=B₁-(A_1,m+1X_m+A_1,m+2X_m+2+...+A_1,nX_n)
...........................................................
X_m=B_m-(A_m,m+1X_m+1+A_m,m+2X_m+2+...+A_m,nX_n) Здесь коэфициенты В_i и А_i,j выражаются через b_i и a_i,j.
Переменные X₁... X_m называются базисными, а X_m+1...X_n- свободными.
Если положить X_m+1=...=X_n=0, то X_i=B_i и если при этом все B_i =0, то и X_i =0, и такой вектор: X=(B₁, B₂,..., B_m, 0, 0,..., 0) называется базисным Выражение целевой функции через свободные переменные:
F=C₀-(C_m+1X_m+1+...+ C_nX_n)
Здесь коэффициенты C₀, C_m+1,..., C_n выражаются через с_j, B_i, a_{i, j}. Начальная симплекс-таблица Составим по этим данным так называемую начальную симплекс-таблицу.

Базис. Перем.	Своб. Перем.	X1	.......	Xi	.......	Xm	Xm+1	.......	Xk	.......	Xn
X1	B1		.......		.......		A1,m+1	.......	A1,k	.......	A1,n
X2	B2		.......		.......		A2,m+1	.......	A2,k	.......	A2,n
.....	.....	.....	.....	.....	.....	.....	.....	.....	.....	.....	.....
Xi	Bi		.......		.......		Ai,m+1	.......	Ai,k	.......	Ai,n
.....	.....	.....	.....	.....	.....	.....	.....	.....	.....	.....	.....
Xm	Bm		.......		.......		Am,m+1	.......	Am,k	.......	Am,n
F(X)	C0		.......		.......		Cm+1	.......	Ck	.......	Cn

Замечание: В простейшем случае в качестве базисных переменных можно взять такие m переменных, каждая из которых входит только в одно ограничение, причем с положительным знаком, а все свободные члены b_i>0. симплекс-метод решения ЗЛП: проверка плана на оптимальность.Критерием оптимальности рассматриваемого плана является выполнение условия Возможны три случая: Все оценки тогда найденный базисный план оптимален.Для некоторого j оценка и все элементы соответствующего столбца неположительные,. В этом случае задача неразрешима, те целевая функция не ограничена на множестве допустимых планов(z стремится к бесконечности)Среди оценок есть отрицательные, причем для каждого номера j с в соответствующем столбце имеются положительные элементы . Тогда план не явл-ся оптимальным и следует искать новый базисный план, при котором значение целевой функции z было бы не меньше.симплекс-метод решения ЗЛП: переход к новому плану. Выбрать свободную переменную, которую надо ввести в базис (выбор разрешающего столбца): это столбец, с минимальным значением С_j (пусть это k-й столбец)Выбрать базисную переменную, которую надо вывести из базиса (выбор разрешающей строки): рассмотрим k-й столбец и все его элементы, которые больше нуля, т.е. A_i,k>0; для всех этих элементов находим отношение B_i/A_i,k и выбираем строку, которая соответствует минимальному значению этого отношения (пусть это i-я строка); соответствующая i-я переменная X_i выводится из базиса; при нескольких одинаковых отношениях берем любую строку; элемент A_i,k называется разрешающим элементом. Пересчитать симплекс-таблицу: составляем новую симплекс-таблицу заменив в составе базисных переменных X_i на X_k; заполняем сначала новую k-ю строку, записывая в нее элементы старой i-ой строки, поделенные на разрешающий элемент; после заполнения k-ой строки заполняем оставшиеся строки; для этого k-ю строку умножаем последовательно на такие числа, чтобы после сложения ее с каждой строкой старой таблицы в k-ом столбце получить везде ноль (кроме единицы в k-ой строке).метод искусственного базиса (М-задача)Метод искусственного базиса используется для нахождения допустимого базисного решения задачи линейного программирования, когда в условии присутствуют ограничения типа равенств. Рассмотрим задачу: max{F(x)=∑c_ix_i|∑a_jix_i=b_j, j=1,m; x_i≥0}.В ограничения и в функцию цели вводят так называемые «искусственные переменные» R_j следующим образом: ∑a_jix+R_j=b_j, j=1,m;F(x)=∑c_ix_i-M∑R_jПри введении искусственных переменных в методе искусственного базиса в функцию цели им приписывается достаточно большой коэффициент M, который имеет смысл штрафа за введение искусственных переменных. В случае минимизации искусственные переменные прибавляются к функции цели с коэффициентом M. Введение искусственных переменных допустимо в том случае, если в процессе решения задачи они последовательно обращаются в нуль.Симплекс-таблица, которая составляется в процессе решения, используя метод искусственного базиса, называется расширенной. Она отличается от обычной тем, что содержит две строки для функции цели: одна – для составляющей F = ∑c_ix_i,, а другая – для составляющей M ∑R_j

19. Числовые характеристики непрерывной СВ.
Математическое ожидание для непрерывно распределенных случайных величин определяется по формуле При этом интеграл, стоящий справа, должен абсолютно сходиться. Пусть x имеет плотность р(х) и j(х) - некоторая функция. Математическое ожидание величины j(x) можно вычислить по формуле

, если интеграл, стоящий справа, абсолютно сходится.

Математическое ожидание дискретной СВ и его смысл. Основные свойства математического ожидания.
Математическим ожиданием ДСВ называется среднее значение данной случайной величины

, т. е. математическое ожидание – это сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности .

Свойства математического ожидания.

а) , где ;

б) ;

в) ;

г) если случайные величины и независимы, то .

Дисперсия x может быть вычислена по формуле , а также, как и в дискр-ом случае, по ф-ле , где

Дисперсия дискретной случайной величины (определение, формула для вычисления). Основные свойства дисперсии.

Дисперсией ДСВ называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания

Дисперсия служит для характеристики рассеяния СВ относительно ее математического ожидания

Свойства дисперсии:

а) , где ;

б) ;

в) ,

где – ковариация двух случайных величин и ;

г) если и некоррелированы, то , тогда .

21. Равномерный закон распределения и его числовые характеристики. Пример.
Равномерное распределение. Непрерывная случайная величина x имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если плотность распределения р_x(x) сохраняет постоянное значение на этом промежутке:

Функция распределения F_x(x) равномерно распределенной случайной величины равна F_x(x)=

Математическое ожидание и дисперсия ; .

Показательный закон распределения. Привести пример.

Показательное (экспоненециальное) распределение. Непрерывная случайная величина x, принимающая неотрицательные значения, имеет показательное распределение с параметром l>0, если плотность распределения вероятностей случайной величины равна

р_x(x)=

Функция распределения показательного распределения имеет вид

F_x(x)=

а математическое ожидание и дисперсия равны Мx= , Dx= .

Нормальный закон распределения и его особенности. Привести пример.
Нормальное распределение (распределение Гаусса). Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону с параметрами и , если ее плотность распределения равна

.

Через обозначается множество всех случайных величин, распределенных по нормальному закону с параметрами параметрами и .

Функция распределения нормально распределенной случайной величины равна

.

Параметры нормального распределения суть математическое ожидание и дисперсия

В частном случае, когда и нормальное распределение называется стандартным, и класс таких распределений обозначается .

В этом случае плотность стандартного распределения равна

, а функция распределения

Поэтому вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на интервал можно вычислять по формуле

.

Неотрицательная случайная величина x называется логарифмически нормально распределенной, если ее логарифм h=lnx подчинен нормальному закону. Математическое ожидание и дисперсия логарифмически нормально распределенной случайной величины равны Мx= и Dx= .

27.Выборочная оценка дисперсии. Несмещённая оценка дисперсии. Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений наблюдаемых значений признака от их среднего значения .Если все значения , , …, признака выборки объёма n различны, то .Если же значения признака , , …, имеют соответственно частоты , , …, , причём + +…+ =n, то .Исправленная дисперсия является несмещённой оценкой генеральной дисперсии: . Доверительная вероятность оценки и доверительный интервал. Надёжностью (доверительной вероятностью) оценки Ѳ по Ѳ* называют вероятность γ, с которой осуществляется неравенство . Обычно надёжность задаётся наперёд, причём в качестве γ берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надёжность, равную 0,95, 0,99 и 0,999. Доверительным называют интервал (Ѳ*-δ, Ѳ*+δ), который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью γ. Доверительные интервалы для математического ожидания СВ, имеющей нормальный закон распределения. Пусть количественный признак генеральной совокупности распределен нормально. Известно среднее квадратическое отклонение этого распределения -. Требуется оценить математическое ожидание а по выборочной средней. Найдем доверительный интервал, покрывающий а с надежностью . Выборочную среднюю будем рассматривать как случайную величину (она изменяется от выборки к выборке), выборочные значения признака- как одинаково распределенные независимые СВ с математическим ожиданием каждой а и средним квадратическим отклонением . Примем без доказательства, что если величина Х распределена нормально, то и выборочная средняя тоже распределена нормально с параметрами .Потребуем, чтобы выполнялось равенство Заменив Х и «сигму», получим Получим	3. графический метод решения ЗЛП. Если задача линейного программирования в стандартной форме содержит всего лишь две переменные x1 и x2 (т.е. n=2), то ее можно решить следующим способом, основанным на ее геометрической интерпретации. Каждое неравенство системы ограничений и условие неотрицательности представляют собой полуплоскость. Пересечение полуплоскостей образует выпуклое многоугольное множество (многогранник допустимых решений).Целевая функция графически изображается множеством параллельных прямых, называемых линиями уровня, каждой из которых соответствует конкретное значение z.Для решения задачи линия уровня сдвигается в пределах области допустимых решений (многогранника допустимых решений) в направлении вектора-градиентаgrad z = f ¢(x) = до самой крайней точки области для задачи максимизации, и в направлении антиградиента – grad z= для задачи минимизации. Координаты этой точки и определяют решение ЗЛП (оптимальный план задачи). Рис1. Геометрическая интерпретация ЗЛП в стандартной форме Рис.2 Пример пустой области допустимых решений (X) Рис.3 Пример ЗЛП, имеющий бесконечное множество решений (ребро АВ многогранника допустимых решений ABCDE)	18. Непрерывные случайные величины. Способы задания закона распределения (функция распределения, плотность вероятности). Привести пример. Функция распределения представляет собой универсальный способ задания СВ в том смысле, что она существует только для дискретной СВ, а плотность распределения – только для непрерывной.Для непрерывной СВ функция распределения F(x)=P(ξ<x) непрерывна в любой точке числовой прямой. Более того, P(ξ=x0)=0, т.е. вероятность того, что непрерывная СВ примет заранее указанное значение, равна нулю.Fx(x) можно представить в виде интеграла Функция называется функцией плотности распределения вероятностей. Плотность вероятности Основные свойства. Функция называется функцией плотности распределения вероятностей. Из определения вытекают свойства функции плотности распределения : 1.Плотность распределения неотрицательна: . 2. Интеграл по всей числовой прямой от плотности распределения вероятностей равен единице: 3. В точках непрерывности плотность распределения равна производной функции распределения: . 4. Плотность распределения определяет закон распределения случайной величины, т.к. определяет вероятность попадания случайной величины на интервал : .5. Вероятность того, что епрерывная случайная величина примет конкретное значение равна нулю: . Поэтому справедливы следующие равенства:	6. транспортная задача. Математическая постановка задачи. Для построения математической модели задачи необходимо ввести m·n штук переменных хij, i = 1,…, n, j = 1, …, m, каждая переменная хij обозначает объем перевозок из пункта Ai в пункт Вj. Набор переменных X = {xij} и будет планом, который необходимо найти, исходя из постановки задачи.Ограничения задачи примут вид: словие разрешимости ТЗ. Закрытая модель ТЗ Известно, что задача всегда имеет решение, если выполняется условие баланса такую задачу называют закрытой, Если условие не выполняется – задача открытая. Если задача открытая. То вводится фиктивный пункт назначения или отправления, где приравниваются запасы и потребности, причем стоимость перевозок принимается за ноль. построение первоначального опорного плана тз Построение плана по правилу наименьшей стоимости заключается в следующем. Рассматриваем матрицу (таблицу) транспортных расходов, стоимостей, данную изначально в качестве условия задачи. Выбираем клетку с минимальной ценой перевозки (клетка с номером i, j) и помещаем в эту клетку наименьшее из чисел {ai, bj}. Затем исключаем из рассмотрения строку, соответствующую поставщику (если аi меньшее), или столбец, соответствующий потребителю (если вj меньшее). Исключение строки означает, что запасы i-го потребителя удовлетворены. Из оставшейся таблицы снова выбираем наименьшую стоимость, и т.д. продолжаем до тех пор, пока все запасы не исчерпаны, а потребности не удовлетворены. Проверьте, что сумма чисел в каждой строке получившейся таблицы равна аi , а сумма чисел в каждом столбце равна вj , что и требовалось. Число занятых клеток должно равняться m + n– 1, в противном случае, если занятых клеток меньше, чем m + n– 1, дополним таблицу необходимым количеством нулей (нулевых перевозок) и будем считать эти клетки с нулями занятыми так, чтобы общее количество занятых клеток равнялось равно m + n– 1. Нули поставим в клетки, соответствующие минимальной стоимости.
5. прямая и двойственная задачи. Каждой задаче линейного программирования можно определенным образом сопоставить некоторую другую задачу (линейного программирования), называемую двойственной или сопряженной по отношению к исходной или прямой задаче. Дадим определение двойственной задачи по отношению к общей задаче линейного программирования, состоящей, как мы уже знаем, в нахождении максимального значения функции (32)при условиях (33) (34)Продождение вопрос 56Задача, состоящая в нахождении минимального значения функции (35)при условиях (36) (37)называется двойственной по отношению к задаче (32) – (34). Задачи (32) – (34) и (35) – (37) образуют пару задач, называемую в линейном программировании двойственной парой. Сравнивая две сформулированные задачи, видим, что двойственная задача составляется согласно следующим правилам:1. Целевая функция исходной задачи (32) – (34) задается на максимум, а целевая функция двойственной (35) – (37) – на минимум. 2. Матрица (38) составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений (33) исходной задачи (32) – (34), и аналогичная матрица (39) в двойственной задаче (35) – (37) получаются друг из друга транспонированием (т. е. заменой строк столбцами, а столбцов – строками)3. Число переменных в двойственной задаче (35) – (37) равно числу ограничений в системе (33) исходной задачи (32) – (34), а число ограничений в системе (36) двойственной задачи – числу переменных в исходной задаче.4. Коэффициентами при неизв

Дата добавления: 2015-08-29