Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия

I семестр

Системы координат

Координатной осью называется прямая, на которой:

1. Указано положительной направление.

2. Отмечено начало отсчёта.

3. Задана масштабная единица.

Направленным отрезком на прямой называют отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом и какая – концом. Обозначение: .

Величиной направленного отрезка будем называть его длину, взятую со знаком «+», если отрезок сонаправлен с координатной прямой и «–» - если нет. Обозначение: - величина, - длина.

Координатой точки A на координатной прямой называется величина отрезка .

Основное тождество: При любом расположении точек A, B и C справедливо тождество .

Пусть, например, точки расположены так, как показано на рисунке. Тогда , , .

Пусть даны и . Тогда .

В силу основного тождества .

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Прямоугольной ДСК на плоскости называют две взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом и одинаковой масштабной единицей. Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат.

Координатой точки на плоскости называют пару чисел x и y, где . Записываются так: .

Простейшие задачи аналитической геометрии

1. Пусть даны две точки и . Найти расстояние между ними.

Согласно теореме Пифагора, .

2. Деление отрезка в данном отношении.

Говорят, что точка C делит отрезок AB внутренним образом, если C лежит внутри AB и внешним, если C лежит вне AB.

Говорят, что точка C делит отрезок AB в отношении l, если . При этом, если , то , иначе .

Замечание: и .

Пусть даны две точки: и и пусть C делит AB в отношении l. Найдём точку C. Пусть . Тогда по теореме Фаллеса , и .

Полярная система координат

Полярной системой координат называют точку O (полюс) и луч Ox (полярная ось), выходящий из этой точки с масштабной единицей.

Полярными координатами точки M называют пару чисел r и j, где r - расстояние от M до полюса, j - угол между радиус-векторами OM и Ox, отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки (, ).

Связь между декартовыми и полярными координатами: , .

Векторная алгебра

Основные понятия:

Вектором называют отрезок прямой, если указано, какая из его граничных точек является началом, а какая – концом.

, если начало совпадает с концом.

Коллинеарными называют векторы, лежащие на параллельных прямых. Компланарными – лежащие на одной или параллельных плоскостях. Равными называют векторы сонаправленные и имеющие одинаковую длину. Противоположные – противоположно направленные и имеющие одинаковую длину. Ортом называют единичный вектор, сонаправленный с .

Линейные операции над векторами:

1. Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или параллелограмма.

2. Умножение вектора на число.

Произведением вектора на число l называют вектор такой, что ­ и , если и , если . Если , то . У произвольное направление.

Линейной комбинацией векторов называют сумму произведений этих векторов на произвольные числа: .

Если является линейной комбинацией векторов , т.е. , то говорят, что разложен по векторам , а - разложение.

Базис. Координаты вектора в базисе

Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов: Для того чтобы и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы .

1. Пусть . Тогда, по определению произведения вектора на число, .

2. Пусть . Тогда можно взять и , если и , если ­ . Очевидно, что l существует.

Любой вектор на плоскости может быть единственным образом по двум неколлинеарным векторам.

Из рисунка видно, что такое разложение существует. Докажем единственность. Действительно, , , следовательно

Пусть также , где . Вычтем из первого уравнения второе. Получим: . Т.к. , то , т.е. , что противоречит условию.

Любой вектор в пространстве может быть единственным образом разложен по трём некомпланарным векторам. Доказывается аналогично.

Совокупность векторов, обладающих двумя свойствами: любой вектор может быть выражен через эти вектора и это выражение будет единственным, называется базисом. Таким образом, базис образуют любые два неколлинеарных вектора на плоскости и любые три некомпланарных в пространстве.

Пусть - базис в пространстве и вектор . Тогда числа a, b и g называют координатами вектора в базисе .

Базис образует аффинную систему координат.

Углом между векторами называют наименьший из углов, на который надо повернуть один вектор до совмещения с другим по приведения из к общему началу. Обозначение: .

Орт оси – единичный вектор, сонаправленный с осью.

Углом между вектором и осью называют угол между вектором и ортом оси.

- геометрическая проекция на ось l.

- скалярная проекция на ось l.

Свойства проекции вектора на ось:

1. .

2. .

3. .

Координаты вектора в прямоугольной декартовой системе координат

ДСК – частный случай аффинной системы координат.

Разложим по базису ­ , который образует декартову систему координат и центр которого совпадает с началом вектора : . Здесь x, y и z – координаты вектора в базисе. Тогда , , .

Направляющие косинусы вектора в прямоугольной декартовой системе координат

Пусть a, b и g - углы, которые образует с осями ДСК (Ox, Oy и Oz). Тогда , и называют направляющими косинусами . Пусть x, y и z – координаты вектора в ДСК. Тогда , , , , , , .

Линейные операции над векторами в аффинных координатах

Пусть , .

Свойства линейных операций:

1. .

2. .

3. .

4. для .

5. .

6. .

7. .

8. .

Пусть в пространстве выбран базис и пусть и . Тогда , , , . Таким образом, , .

Скалярное произведение

Скалярным произведением на называется число .

Второе определение: .

Оба определения равносильны, т.к. , .

Алгебраические свойства скалярного произведения:

1. .

2. .

3. .

4. , если , иначе .

Необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов: Для того чтобы и были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы ­ .

1. Если или , то теорема справедлива, т.к. нулевой вектор имеет произвольное направление и .

2. Пусть . Тогда и, т.к. и , то , т.е. .

3. Пусть . Тогда .

Пусть задана прямоугольная декартова система координат и пусть и . Тогда , т.к. , и .

Векторное произведение векторов

Три вектора называют упорядоченной тройкой векторов, если указано, какой из них первый, какой второй и какой третий.

Некомпланарная тройка векторов , и называется правой (левой) если после приведения их к общему началу расположен по ту сторону от плоскости векторов и , откуда наикратчайший поворот от к кажется осуществляемым против (по) часовой стрелки.

Векторным произведение и называют вектор такой, что , , и векторы , и образуют правую тройку. Обозначение: ­ .

Алгебраические свойства:

1. .

2. .

3. .

4. .

Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов: Для того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы .

1. Пусть , и ­ . Тогда , т.е. .

2. Пусть . Тогда .

Модуль векторного произведение равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

.

Выражение векторного произведения в ДСК

Если в ДСК и то . .

Смешанное произведение трёх векторов

Смешанным произведением векторов , и называют число .

Модуль смешанного произведения векторов равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах после приведения их к общему началу.

, где - орт .

Пусть в ДСК , , . Тогда .

Критерий компланарности трёх векторов: Для того чтобы векторы , и были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы .

В самом деле, это означает, что объём параллелепипеда, построенного на этих векторах после приведения их к общему началу, будет равен нулю, а это возможно только когда все три вектора лежат в одной или параллельных плоскостях, т.е. компланарны.

Двойным векторным произведением векторов , и называют вектор .

.

Прямая на плоскости

Составим уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярно данному вектору .

Запишем условие принадлежности точки прямой l: . Это значит, что - векторное уравнение прямой, проходящей через точку . . Обозначив , получим: - общее уравнение прямой, если или .

Ненулевой вектор, перпендикулярной данной прямой называют нормальным вектором прямой.

Приняв и , можно получить уравнение . При этом , где a - угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, а b = величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy.

Составим теперь уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно .

Запишем условие принадлежности точки прямой l: . Это значит, что - векторное уравнение прямой. Раз , то - каноническое уравнение прямой.

Ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называют направляющим вектором этой прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и . В качестве точки возьмём одну из них, а в качестве возьмём . Тогда - уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Если мы преобразуем канонические уравнения прямой следующим образом: , то получим - параметрические уравнения прямой.

Угол между прямыми

Это угол, на который нужно повернуть одну прямую до совмещения её с другой прямой.

1. Пусть , . Тогда .

2. Пусть , . Тогда .

3. Пусть , . Тогда .

Полные и неполные уравнения прямой

Общее уравнение прямой называют полным, если , и .

Полное уравнение прямой можно привести к уравнению прямой в отрезках: обозначим , . Тогда . Здесь a и b – величины отрезков, отсекаемых прямой на осях Ox и Oy соответственно.

Неполные уравнения прямой:

1. – параллельна оси x.

2. – параллельна оси y.

3. – проходит через начало координат.

4. ­– ось x.

5. – ось y.

Нормальное уравнения прямой это уравнение прямой , , где a - угол между нормалью к прямой и осью Ox, причём нормаль направлена из начала координат в сторону прямой и p – расстояние от начала координат до прямой.

Нормальное уравнение прямой получается из полного следующим образом:

Вывод нормального уравнения прямой:

Введём сразу две системы координат – полярную и цилиндрическую так, чтобы их начала совпадали, и ось полярной системы совпадала с осью Ox цилиндрической. Тогда выражение справедливо для . Преобразуем это выражение: (Т.к. и ), или .

Нормальное уравнение прямой применяется для вычисления расстояния от данной точки плоскости до прямой. Рассмотрим случай, когда точка и точка O лежат по одну сторону от прямой. Расстояние от то l равно . Рассмотрим нормальное уравнение прямой, параллельной l (): , где . Т.к. точка , то – верное равенство, значит, . . Если точка и точка O лежат по одну сторону от прямой l, то расстояние от до l равно . Следовательно, расстояние от до l равно .

Приведём общее уравнение прямой к нормальному виду ( к ). Очевидно, что коэффициенты пропорциональны, т.е. . Тогда и знак m противоположен знаку C.

Отклонением точки от прямой называется расстояние от этой точки до прямой, взятое со знаком «+», если эта точка и начало координат располагаются по одну сторону от прямой и «–» - если по разные стороны, т.е. отклонение равно .

С помощью нормальных уравнений прямой можно составлять уравнения биссектрис, образованных двумя прямыми:

Пусть - первая прямая, - вторая прямая. Для того чтобы получить одну из биссектрис, необходимо приравнять левые части уравнений: . Для второй: .

Плоскость в пространстве

Составим уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору . Пусть - произвольная точка плоскости. То, что M принадлежит плоскости, означает, что . Раскрыв скобки и обозначив , получим - общее уравнение плоскости, если , или . Ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости называется нормальным вектором этой плоскости.

Составим теперь уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам и . Возьмём , принадлежащую нашей плоскости. Это значит, что , и компланарны, т.е. - уравнение плоскости, проходящей через данную точки параллельно двум данным векторам.

Для того чтобы провести плоскость через три данные точки , , достаточно взять и . Тогда и есть искомое уравнение плоскости.

Частные случая общего уравнения плоскости

Общее уравнение плоскости называется полным, если , , и . Тогда можно получить уравнение плоскости в отрезках: , где , и . Здесь a, b и c – величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях Ox, Oy и Oz соответственно.

Рассмотрим неполные уравнения плоскости:

1. - плоскость параллельна оси Ox.

2. - плоскость параллельна оси Oy.

3. ­ - плоскость параллельна оси Oz.

4. - плоскость проходит через начало координат.

5. - ось Ox принадлежит плоскости.

6. - ось Oy принадлежит плоскости.

7. - ось Oz принадлежит плоскости.

8. - плоскость xOy.

9. - плоскость yOz.

10. - плоскость xOz.

Нормальное уравнение плоскости

Уравнение вида называют нормальным уравнением плоскости, если , а , и ­ - направляющие косинусы нормального вектора, направленного из начала координат в сторону плоскости.

Чтобы вычислить расстояние l от точки до плоскости, нужно привести уравнение плоскости к нормальному виду и тогда .

Прямая в пространстве

Составим уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору . Пусть принадлежит этой прямой. Это значит, что , т.е. - канонические уравнения прямой.

Чтобы составит уравнение прямой, проходящей через две данные точки и , достаточно взять . Тогда - канонические уравнения этой прямой.

Если взять , то система уравнений называется параметрическими уравнениями прямой.

Прямую можно также задать как множество точек, общих для двух плоскостей системой уравнений вида , где оба уравнения представляют собой уравнения пересекающихся плоскостей. Чтобы перейти от этого вида к каноническому, достаточно найти одну точку, удовлетворяющую этому неравенству и взять её как точку и положить .

Ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

Пусть и - уравнения прямых и . Тогда и - направляющие векторы этих прямых. Поместим на прямую , а начало совместим с началом . На трёх векторах , и построим параллелепипед. Расстояние между прямыми будет равно высоте полученного параллелепипеда: .

Пусть даны канонические уравнения двух прямых и . Если , то , иначе и либо пересекаются, либо скрещиваются. В этом случае достаточно вычислить смешанное произведение направляющих векторов этих прямых и вектора, соединяющего эти прямые. Если оно не равно нулю, то прямые скрещивающиеся, иначе – пересекающиеся.

Кривые второго порядка

Окружность – геометрическое место точек, расстояния от которых до одной фиксированной (центра) равны.

Применим метод координат для того, чтобы вывести алгебраическое уравнение окружности.

Пусть - центр окружности. Возьмём такое, что точка M принадлежит нашей окружности. Тогда или .

Эллипс – геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных (полюсов) равны.

. Введём систему координат так, как показано на рисунке. Здесь , , ­ . Такую систему координат называют канонической. Тогда , . Возьмём любую точку , принадлежащую нашему эллипсу. Тогда Преобразуем это выражение: , , . Сложим теперь его с исходным: , , , , . Обозначив , получим каноническое уравнение эллипса: . Здесь a и b равны соответственно горизонтальной и вертикальной полуосям эллипса. Отсюда уравнение эллипса в явном виде: .

1. Если , то уравнение эллипса представляет собой окружность.

2. Эллипс имеет две оси симметрии (Ox и Oy) и центр симметрии ().

3. Эллипс – непрерывная кривая.

4. Ограниченная кривая, , .

5. Гладкая кривая (во всех точках имеет касательную).

6. Уравнение касательной для эллипса: .

7. Верхняя половина эллипса выпукла вверх, нижняя – вниз.

8. и называются фокальными радиусами.

9. - эксцентриситет эллипса, .

10. , .

11. - директрисы эллипса.

12. Оптическое свойство эллипса: если поместить источник света в один из фокусов, то после отражения от эллипса как от зеркала все лучи пройдут через другой фокус.

Гипербола – геометрическое место точек, абсолютные величины разности расстояний от которых до двух фиксированных (фокусов) равны.

Введём систему координат так, как показано на рисунке. Здесь, так же, как и у эллипса, , т.е. , . Такая система координат называется канонической. Условие гиперболы записывается так: или . Избавившись от иррациональности (см. вывод уравнение эллипса выше), получим: , где . Уравнение гиперболы в явном виде: .

1. Гипербола имеет две оси симметрии (Ox и Oy) и центр симметрии ().

2. Гипербола – гладкая кривая.

3. Уравнение касательной для гиперболы: .

4. Гипербола, задающаяся уравнением , называется сопряжённой для исследуемой гиперболы.

5. - асимптоты гиперболы.

6. и - фокальные радиусы.

7. Эксцентриситет гиперболы , .

8. , .

9. - директрисы гиперболы.

10. Оптические свойства гиперболы: если поместить в один из фокусов гиперболы источник света, то все лучи, им испущенные, после отражения от гиперболы пойдут по прямой проходящей через другой фокус.

Парабола – геометрическое место точек, расстояния от которых до одной фиксированной и до фиксированной прямой, называемой директрисой, равны.

Введём систему координат так, как показано на рисунке. Здесь . Такая система координат называется канонической. Тогда условие параболы запишется так: . Избавившись от иррациональности, получим: - каноническое уравнение параболы. Уравнение параболы в явном виде: .

1. Парабола имеет ось симметрии (Ox).

2. , .

3. Эксцентриситет параболы .

Общее уравнение кривой второго порядка: . Любая кривая второго порядка описывается таким уравнением и наоборот. Все кривые второго порядка могут быть разделены на две группы: невырожденные (эллипс, гипербола, параболы) и вырожденные. Пример вырожденной кривой: .

Поверхности второго порядка

Цилиндрические

Цилиндрические поверхности – поверхности, образованные прямыми, параллельными некоторой фиксированной прямой. Эта прямая называется осью. Прямые, с помощью которых образована цилиндрическая поверхность – образующими. Кривая, лежащая на цилиндрической поверхности и проходящая через все образующие называется направляющей.

Если ось цилиндрической поверхности параллельна, к примеру, Ox, то уравнение этой поверхности не будет содержать переменной x.

- уравнение кругового цилиндра, - уравнение эллиптического цилиндра, - уравнение гиперболического цилиндра, - уравнение параболического цилиндра.

Поверхности вращения

Поверхность вращения – это поверхность, составленная из окружностей, центры которых лежат на одной прямой, а сами окружности лежат в плоскостях, перпендикулярных этой прямой.

Возьмём эллипс, описываемый уравнением , и начнём вращать его вокруг большей оси. Тогда точка будет вращаться по окружности, описываемой системой уравнений . Подставим эти значения в уравнение эллипса: - уравнение эллипсоида вращения. Начнём теперь «прижимать» все точки эллипса к плоскости xOz. В результате точка будет «вращаться» не по окружности, а по эллипсу. В итоге мы получим уравнение эллипсоида: .

Возьмём теперь параболу, описываемую уравнением , и начнём её вращать вокруг оси Oz. В результате точка будет вращаться по окружности, описываемой системой уравнений . Подставив эти выражения в уравнение параболы, получим: - уравнение параболоида вращения. Если мы будем «сжимать» этот параболоид к плоскости xOz, то точка будет двигаться по эллипсу и уравнение параболоида примет вид .

Дата добавления: 2015-08-29