Вектором (геометрическим вектором) называют отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является начальной и какая конечной.

1. ВЕКТОРЫ

Начало, конец вектора, направление вектора, длина (модуль вектора), нулевой/единичный вектор.

Теорема: 2 вектора, сонаправленные с 3м, явл сон-ми м/д собой.

Теорема: если a = b, a b = с => a = c.

Теорема: для любого AB и любой (.)С сущ! (.)D: AB = CD.

Лемма: AB = CD <=> AC = BD.

2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ. СУММА

Суммой векторов, следующих друг за другом, называется вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, конец — с концом последнего вектора. Сумма произв расп-х векторов. Св-ва: 1. коммутативность; 2. ассоциативность; 3. особая роль нулевого вектора; 4. свойство противоположного вектора. Разность векторов

3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ. ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Произведением вектора a на вещественное число A называется вектор p = Aa, определяемый следующим образом: вектор p коллинеарен вектору a, имеет направление вектора a, а > О, и направление, противоположное вектору a, если а <О, при этом / p / = / a /*/A/.

Теорема: ненулевые векторы a и b коллинеарны <=> A ¹ 0, b = A a.

1. ассоциативность; 2. дистрибутивность относительно суммы чисел; 3. дистрибутивность относительно суммы векторов; 4. свойство единицы.

4. ДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА В ЗАДАННОМ ОТНОШЕНИИ

Будем говорить, что точка М, не совпадающая с точкой В, делит АВ в отношении λ¹–1, если АМ = λ МВ. r M=(r A+λ r B)/(1+λ). λ= AB / MB +(–1). В аффинном пространстве: xi=(ai+λbi)/(1+λ), i=1, 2, …,n

12. АФИННЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Аффинная система координат О е 1 е 2... е N в аффинном пространстве En есть совокупность, состоящая из произвольной точки O, называемой началом координат, и базиса е1…eN из ассоциированного с En линеала Ln.

Афинные координаты, прямая, оси координат, правая (левая) тройка(с-ма координат).

13. ГЕОМ СМЫСЛ АФ КООРДИНАТ

a =A e: A=mes(e) a; a =(mes(e) a)* e.

Аф-е корд-ы вектора на аф-й оси есть алгебраическая мера этого вектора на коорд-й оси.

Лемма1: mes(e)(Л* a)=Л*mes(e) a.

Лемма2 (Лемма Шаля): для любых 2х векторов a и b на прямой mes(e)(a + b)=mes(e) a +mes(e) b

14. ДПСК

Ортонормированный базис, ДПСК, абсцисса, ордината, аппликата.

ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

Полярной системой координат на плоскости называется система, определяющими элементами которой являются: 1) полюс; 2) полярная ось; 3) единица измерения длин на полярной оси; 4) единица измерения углов; 5) положительное направление отсчета углов.

Пол. радиус, пол. угол, полю координаты; обобщ. пол. координаты (допуск-ся «–» знач. для пол. радиуса).

16. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ И СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ

Цилиндрические: x=p*cos(ф), y=p*sin(ф), z=z; Сферические: x=p*cos(т)*cos(ф), y=p*cos(т)*sin(ф), z=p*sin(т).

24. УРАВНЕНИЕ С УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ

Уравнением с угловым коэффициентом прямой на плоскости называют уравнение прямой, приведенное к виду y=Kx+b.

Углом наклона прямой p к оси абсцисс называют наименьший положительный угол α, на который следует повернуть абсцисс O i вокруг точки J пересечения этой прямой с данной осью, чтобы ось совпала с прямой p.

Таким образом, коэффициент K в уравнении -тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс (угловой коэффициент прямой на плоскости).

25. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПЛОСКОСТЯМИ.ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ (ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ).

Под углом между плоскостями pi1, pi2 (прямыми на плоскости p1, p2) понимают угол между их нормальными векторами.

pi1: r * n1 +D1=0; pi2: r * n2 +D2=0 => угол φ=arcos(n1 * n2 /(|n1|*|n2|))= arcos((A1*A2+B1*B2+C1*C2)/[sqrt(A1^2+B1^2+C1^2)*sqrt(A2^2+B2^2+C2^2)])

Расположение: 1) перпенд., n1 * n2 =0; 2)параллел., n1 x n2 =0; 3)пересек., n1 x n2 <>0; 4)совпадают, A1/A2=B1/B2=C1/C2 (n1 =Л* n2 и сущ. общее решение r0)

Теорема. Два векторных уравнения определяют одну и ту же плоскость (прямую на плоскости) тогда и только тогда, когда n1 =Л* n2, D1=D2

Следствие. Необходимым и достаточным условием того, что два уравнения определяют одну и ту же плоскость (прямую на плоскости), является пропорциональность коэффициентов этих уравнений: A1/A2=B1/B2=C1/C2=D1/D2

5. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ

Линейная комбинация элементов (векторов) а1, а2,..., аN.

Элементы (векторы) а1, а2,..., аN называются линейно зависимыми, если существуют такие вещественные числа λ1‚ λ2,..., λN, среди которых хотя бы одно отлично от нуля, что Σ(i=1,N)λi*аi =0.

Теорема 1. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости а1, а2,..., аN является возможность разложения по крайней мере одного из этих элементов по остальным.

Теорема 2. Если хотя бы один из элементов а1, а2,..., аN нулевой, то эти элементы линейно зависимы.

Теорема 3. Если среди n элементов какие-либо n — 1 элементов (/подсистема) линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

Теорема 1. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов линейного векторного пространства V2 является их коллинеарность.

Следствие 1. Если векторы a и b неколлинеарны, то они линейно независимы;

Следствие 2. Среди двух неколлинеарных векторов не может быть нулевого вектора.

Теорема 2. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов в линейном пространстве V3 является их компланарность.

Следствие 1. Если векторы a, b, c некомпланарны, то они линейно независимы в V3.

Следствие 2. Среди трех некомпланарных векторов не может быть двух коллинеарных.

Теорема 3. Любые четыре вектора линейного пространства V3 линейно зависимы.

17. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Угол м/д векторами; (a, b)=/ a /*/ b /*cos(ф); св-ва;

Теорема 1. Скалярное произведение двух векторов a и b, заданных в произвольной аффинной системе координат О e 1 e 2 e 3 своими координатами a (х1,у1,z1) и b (х2,y2,z2) находится по формуле (а, b) = х1х2(e1e1) + (х1у2 + х2уi) (е1e2) + у1у2(e2e2) + (х1z2 + х2z1) (e1e3) + (у1z2 + у2z1) (e2e3) + z1z2(e3e3).

Сл1: /а(x1,y1,z1)/=…; Сл2: ф=arcos…; Сл3: формулы для ДПСК.

Теорема 2. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух ненулевых векторов в трехмерном пространстве a(х1, y1, z1) и b(х2, y2, z2), заданных в ДПСК своими координатами, является равенство х1х2 +у1у2 +z1z2 = 0.

Теорема 3. Декарвговы прямоугольные координаты вектора a(x1,у1,z1) равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие базисные векторы: x1=a*i, y1=a*j, z1=a*k.

Теорема 4. Направляющие косинусы вектора суть координаты орта данного вектора.

Следствие: сумма квадратов направляющих косинусов =1.

18. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, определяемый следующим образом: 1) / c /=/ a /*/ b /*sin(ф), ф=(a ^ b); 2) вектор с ортогонален каждому из векторов a и b; 3) вектор c направлен так, что упорядоченная тройка векторов a, b, c является правой.

Лемма: [ а, е ]. Св-ва. Теорема1: [ a, b ]=матрица. Теорема2: a и b – коллин <=> [ a, b ]=0. Теорема3: [ a, b ]=S. 2 следствия ([ a, b ]=S* e; S=sqrt(| |^2+| |^2+| |^2)). Поворот = псевдовекторное произведение, св-ва.

26. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ НЕРАВЕНСТВ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

Теорема 1. Пусть плоскость pi (прямая p) задана векторным уравнением

r * n +D=0. Тогда для всех точек M(r), лежащих по одну сторону от этой плоскости pi (прямой p), выполняется неравенство r * n1 +D1>0, а для всех точек M(r), лежащих по другую сторону от плоскости pi (прямой p), выполняется неравенство r * n1 +D1<0.

Положительное и отрицательное полупространства.

Теорема 2. Пусть плоскость pi (прямая p) задана векторным уравнением r * n +D=0. Тогда, если начало ее нормального вектора отложить от некоторой точки плоскости pi (прямой p), то конец вектора n будет лежать в положительном полупространстве (в положительной полуплоскости).

27. НОРМИРОВАННОЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ (ПРЯМОЙ)

Теорема 1. Расстояние от произвольной точки N(r1) трехмерного пространства (плоскости) до фиксированной плоскости pi (прямой p), заданной векторным уравнением r * n +D=0, определяется по формуле d(N,pi)=| r1 * n +D|/| n |.

Нормированным векторным уравнением плоскости (прямой на плоскости) называют векторное уравнение вида r * n +D=0 с единичным нормальным вектором и отрицательным свободным членом.

Отклонением δ произвольной точки N от плоскости pi (от прямой p), заданной уравнением r * n’ -p’=0 (n’ = n /| n |*sign(-D), p’=D/| n |*sign(D)), называют алгебраическую меру вектора N’N на осиN’ n, где N’ - ортогональная проекция точки N на рассматриваемую плоскость pi (на прямую p): δ=algmera(N’N).

Теорема 2. Отклонение произвольной точки N(r1) трехмерного пространства (плоскости) от плоскости pi (от прямой p), заданной нормированным уравнением, определяется как δ= r * n’ -p’.

28. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Направляющим вектором d прямой p в пространстве R³, называется любой ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой.

r = r0 +t* d – векторное параметрическое уравнение в R³

x=x0+t*α, y=y0+t* β, z=z0+t* γ – параметрическое уравнение в R³

(x-x0)/α=(y-y0)/β=(z-z0)/γ – каноническое уравнение в R³

r * n1 +D=0, r * n2 +D2=0 – общее векторное уравнение в R³

Аналогично и в R².

7. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Линейным пространством (линеалом), называют множество L = {х,у,z,..., s,р,...} элементов произвольной природы, называемых векторами, для которого: 1) задано правило, по которому любым двум элементам х,у € L сопоставляется элемент s Î L, называемый их суммой и обозначаемый s=х+у; 2) задано правило, по которому каждому элементу х Î L

и любому вещественному числу λ € R сопоставляется элемент р € L, называемый произведением х на λ и обозначаемый р=λх; 3) заданные правила при любых х, у, z и любых вещественных числах λ,μ Î R подчинены аксиомам:

1*. х+у=у+х. 2*. (х+у)+z=х+(у+z). 3*. Существует нулевой вектор 0 Î L, такой что х + 0 = х. 4*. для каждого х Î L существует х’ Î L, что х + x’ = 0. 5*. λ(х)=(λ)х. 6*. (λ + μ’)х= λх + μх. 7*. λ(х+у)= λx + λу. 8*. 1•х=х.

8. БАЗИС ЛИНЕАЛА

Упорядоченньтй набор линейно независимых элементов (векторов) е1, е2,..., еN линеала L называется базисом линеала, если для каждого элемента (вектора) х Î Е найдутся такие вещественные числа хi, i = 1,..., N, что х = Σ(i=1,n)xi*ei.

Теорема 1. Всякий элемент линеала L может быть единственным образом разложен по базису е1, е2,..., еN, тем самым его координаты относительно заданного базиса определяются однозначно.

Теорема 2. При сложении элементов линеала L их координаты складываются, а при умножении элемента на вещественное число все его координаты умножаются на это число.

Теорема З. Если каждый из n + 1 элементов y0, y1, … yN линеала L представим в виде линейной комбинации n линейно независимых элементов х1, х2,..., хN того же линеала, т. е. уj= Σ (i=1,n)λij*хi, j=0,...,N, то элементы y0, …,yN линейно зависимы.

Следствие: Любые n +1 элементов в пространстве Rn линейно зависимы.

Теорема: базис 1го и того же лин пр-ва состоит из 1го и того же числа векторов.

19. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Смешанным произведением трех векторов a, b, c называется число (а, b, c)== ([ a, b ], c).

Теорема 1. Смешанное произвеоение трех векторов a (х1,у1,z1), b (x2,у2,z2), c (х3,у3,z3), заданных своими декартовыми прямоугольными координатами, находится по формуле (a, b, c)=|(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(х3,у3,z3)|.

Теорема 2. Необходимым и достаточным условием компнарности трех векторов a, b, c является равенство нулю смешанного произведения (а, b, c)=0.

Теорема З. Смешанное произведение (а, b, c) трех некомпланарных векторов равно объему V параллелепипеда построенного на векторах-сомножителях, взятому со знаком «+», если тройка правая, и со знаком «–», если эта тройка левая, т. е. /(а, b, c)/=V.

Следствие: ([ a, b ], c)=(a,[ b, c ]). Псевдоскалярное произведение (a,[ b ]), св-ва.

20. ДВОЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Двойным векторным произведением трех векторов a, b, c называется вектор [ a,[ b, c ]].

Теорема. Двойное векторное произведение равно среднему вектору произведения, умноженному на скалярное произведение двух остальных, минус другой вектор внутреннего произведения, умноженный на скалярное произведение двух остальных: [ a,[ b, c ]]= b *(a, c)-c*(a, b).

Следствие: Верна ф-ла [[ a, b ], c ]= b *(a, c)-a*(b, c).

21. ЕВКЛИДОВЫ, НОРМИРОВАННЫЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

Линейное n -мерное пространство называется евклидовым веквторным п-мерным пространством, если в нем задана функция, сопоставляющая двум любым элементам а и Ь этого пространства вещественное число, называемое скалярным произведением и обозначаемое a*b, причем выполняются аксиомы:

12. a*b = b*a; 13. Л(a*b)=(Л a)*b; 14. (а+b)*c=a*c+b*c; 15. а•а >0,если а<>0; a*a=0,если а=О.

Теорема 1. Для любых двух элементов а и b произвольного евклидова пространства верно неравенство (a*b)^2<=(a*a)(b*b), называемое неравенством Коши—Буняковского.

Нормированное пространство.

Теорема 2. Всякое евклидово пространство можно рассматривать как нормированное, если норму в нем определить равенством ||х||=sqrt(x*x).

Метрическое просранство.

29. ПУЧКИ ПЛОСКОСТЕЙ (ПРЯМЫХ). СВЯ3КИ ПЛОСКОСТЕЙ (ПРЯМЫХ)

Пучком плоскостей с центром в p (пучком прямых на плоскости с центром в точке P) называется множество всех плоскостей (прямых на плоскости), проходящих через одну и туже прямую p (точку P).

Теорема. Уравнение пучка Плоскостей с центром в p (пучка прямых с центром в точке P), определенным как пересечение двух различных плоскостей (двух различных прямых) этого пучка: p(P): r * n1 +D=0, r * n2 +D2=0 имеет вид: α(r * n1 +D=0)+β(r * n2 +D=0)

где α и β - произвольные вещественные числа, не равные 0 одновременно.

Связкой плоскостей в R³ с центром в точке Q называется множество всех плоскостей, проходящих через данную точку Q.

Теорема. Уравнение связки Плоскостей с центром е точке Q(x0,y0,z0) имеет вид

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

где А,B,C — произвольные вещественные числа, не равные нулю одновременно.

Связкой прямых в пространстве с центром в точке N называется множество всех прямых, проходящих через точку N.

Теорема. Каноническое (векторное) уравнение связки прямых в пространстве с центром N(x0,y0,z0) имеет вид (x-x0)/α=(y-y0)/β=(z-z0)/γ ((r - r0)x d =0, d (α, β, γ))

где α, β, γ - произвольные вещественные числа, не равные нулю одновременно.

30. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ И ИХ ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Углом между прямыми p1 и p2 называют угол, образуемый их направляющими векторами.

φ=arcos(d1 * d2 /[|d1|*||d2])=arcos((α1* α2+ β1* β2+ γ1* γ2)/[sqrt(α1^2+ β1*^2+ γ1^2)* sqrt(α2^2+ β2*^2+ γ2^2)*])

Расположение:

1) лежат в одной плоскости, (r2 - r1, d1, d2)=0; 2)скрещиваются, (r2 - r1, d1, d2)=0; 3)перпенд., d1 * d2 =0 (α1* α2+ β1* β2+ γ1* γ2=0); 4)параллел. и не совпад, d1 x d2 =0 (α1/α2=β1/β2=γ1/γ2 и (r1 - r2)x d1 <>0); 5)совпадают, d1xd2=0 и (r1 - r2)x d1 =0; 6)пересек., (r2 - r1, d1, d2)=0 и d1 x d2 <>0.

9. РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА

Линеал L называют конечномерным (n-мерным), если в нем имеется линейно независимая система, состоящая из n элементов, а всякая система, содержащая более n элементов, является линейно зависимой. Число n называют размерностью линеала L и обозначают символом dim(L)=n.

Теорема. Для того чтобы ланеал L был n-мерным, необходимо и достаточно, чтобы в нем существовал базис, состоящий из n элементов.

9*. Линейное про-во L конечномерно и его размерность = n.

10. ИЗОМОРФИЗМ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ

Два линеала L и L’ называются изоморфными, если между элементами этих линеалов можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что для любого x Î L –> Y(x) Î L’, что для любых x,yÎ L и λÎ R справедливо Y(x+y)=Y(x)+Y(y); Y(λx)=λY(x).

Теорема 1. Все линеалы одной и той же размерности изоморфны.

Следствие. Каждое n-мерное линейное пространство Ln изоморфно координатному пространству Rn.

Теорема 2. Изоморфные линеалы имеют одну и ту же размерность.

Следствие 1. Конечномерные линеалы разных размерностей неизоморфны.

Следствие 2. Бесконечномерный линеал не может быть изоморфен никакому конечномерному линеалу.

11. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Аффинное пространство — это множество E элементов произвольной природы, называемых точками, для которых: 1) задан некоторый, ассоциированный с E, линеал L; 2) задано соответствие, сопоставляющее любым двум точкам А, В Î E некоторый элемент (вектор)AB Î Lс началом в А и концом в В; 3) выполняются следующие две аксиомы:

10*. для произвольной точки А Î E и любого элемента u Î L существует единственная точка В Î E, такая что AB =u. 11*. для произвольных трех точек А, В, С имеет место равенство AB + BC = AC.

22. ВЕКТОРНОЕ И ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ (ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ)

Нормальным вектором плоскости pi (прямой р на плоскости) называется любой ненулевой вектор, ортогональный данной плоскости pi (прямой р).

Теорема. Всякая плоскость pi в трехмерном пространстве (прямая р на плоскости) с нормальным вектором n, проходящая через точку М₀(r₀), задается векторным уравнением r * n +D=0 (от (r - r0)* n =0)

Следствие. Всякая плоскость pi в трехмерном пространстве (прямая р на плоскости) С нормальным вектором n (А, В, С) (n (А, В)), проходящая через точку М(x₀,y₀, z₀) (М(x₀, y₀)) В фиксированной ДПСК Оxyz (Оxy), определяется алгебраическим уравнением первой степени Ax+By+Cz+D=0 (Ax+By+D=О). Уравнение называют общим уравнением плоскости в трехмерном пространстве (прямой на плоскости) в ДПСК Oxyz (Oxy).

Можно утверждать, что а любой аффинной системе координат произвольная плоскость (прямая на плоскости) определяется алгебраическим уравнением первой степени.

В афинной системе координат.

Общее уравнение плоскости (прямой на плоскости) называется полным, если все его коэффициенты А, В, С (А, В) отличны от нуля. Если хотя бы один из названных коэффициентов равен нулю, то уравнение называется неполным.

23. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЕ “В ОТРЕЗКАХ” ПЛОСКОСТИ В 3-Х МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ.

Полное уравнение Аx+Вy+Сz+D=0 (Ax+By+D=О) можно переписать в виде x/(-D/A)+y/(-D/B)+z/(-D/C)=1 или x/a+y/b+z/c=1 (x/a+y/b=1) Уравнение называют уравнением плоскости (прямой на плоскости) «в отрезках». Числа а, b, c (a, b) равны алгебраическим мерам соответствующих векторов: а=ОА’, b=ОВ’, с=ОС’ (а=ОА’, b=ОВ’), где А’, В’, С’ -точки пересечения данной плоскости (прямой) с соответствующими осями координат.

Произвольная точка М(r) принадлежит плоскости pi т и тт r = r ₀+u a +v b где u,v - произвольные параметры. Уравнение называют векторным параметрическим уравнением плоскости. Выясним геометрический смысл параметров u,v. Для этого введем в плоскости pi аффинную систему координат Mo ab с центром в точке М₀ и базисом a, b.

Параметры u,v называют плоскостными или внутренними корд-ми точки М

Параметрические уравнения данной плоскости относительно указанной ДПСК: x=x₀+a₁u+b₁v y=y₀+a₂u+b₂v z=z₀+a₃u+b₃v

31. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В 3D ПРОСТРАНСТВЕ

Углом между прямой и плоскостью называют угол между этой прямой и ее ортогональной проекцией на данную плоскость.

p: r = r0 +t* d; pi: r * n +D=0;

φ=pi/2-θ, θ- острый; φ=θ-pi/2, θ- тупой; θ=arcos(d * n /[|d|*|n|])

Расположение: 1)параллел., d * n =0 (α*A+β*B+γ*C=0); 2)перпенд., d x n =0 (α/A=β/B=γ/C); 3)пересек., d * n <>0; 4)лежит в плоскости, d * n =0 и r0 * n +D=0 (α*A+β*B+γ*C=0 и A* x0+B*y0+C*z0=0)

32. ГИПЕРПЛОСКОСТЬ

Гиперплоскостью в n-мерном аффинном пространстве называют геометрическое место Точек М(r) (М(х1, x2,...,xn)), радиус-векторы r (координаты (х1,х2,...,хn)) которых удовлетворяют векторному (линейному) уравнению r * n +D=0 (a1*x1+a2*x2+…+an*xn+D=0), где n (а1, а2,..., аn) — нормальный вектор гиперплоскости.

Теорема 1. Две гиперплоскости r * n1 +D=0, r * n2 +D2=0 параллельны, если коллинеарны их нормальные векторы n1 (а1, а2,..., аn) n2 (b1, b2,..., bn), т.е. n1 =Л* n2 (a1/b1=a2/b2=…=an/bn)

Теорема 2. Необходимым и достаточным условием того, чтобы две гиперплоскости совпадали, является выполнение соотношений n1 =Л* n2, D1=Л*D2 (a1/b1=a2/b2=…=an/bn=D1/D2)

33. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ОСИ И ПЛОСКОСТИ

Преобразование координат на оси называется переносом начала координат: x=a+x’.

Произвольная точка M плоскости имеет координаты (x,y) относительно первой системы и (x’,y’) относительно второй системы, новые базисные векторы i’, j’ представляются через старый базис i, j: i’ =α11* i +α12* j, j’ =α21* i +α22* j, где αij – направляющие косинусы относительно i, j. A=(α11, α12, α21, α22) – матрица перехода от i, j к i’, j’.

OM=OO’+O’M => x=a+x’*α11+y’*α21, y=b+x’*α12+y’*α22.

α11=cos; α12=sin; α21=-sin; α22=cos.

x=x’*cos-I’*sin, y=x’*sin+y’*cos – однородное ортогональное преобразование (a=b=0)

34. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

i’ = α11* i + α12* j +α13* k

j’ = α21* i + α22* j +α23* k

k’ = α31* i + α32* j +α33* k

OM = OO’ + O’M:

x=a+x’*α11+y’*α21+z’*α31,

y=b+x’*α12+y’*α22+z’*α32,

z=c+x’*α13+y’*α23+z’*α33 – ортогональное преобразование

Если a=b=c=0 – однородное преобразование.

Если x=a+x’, y=b+y’, z=c+z’ – параллельный перенос

35. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ С ПОМОЩЬЮ УГЛОВ ЭЙЛЕРА

Рассмотрим три угла ψ, φ, θ полностью характеризующие расположение второй системы относительно первой. Введем ось O u.

ψ=< i ^ u – угол прецессии

φ=< u ^ i’ – угол собственного вращения

θ=< k ^ k’ – угол нутации

1)x=x1*cos ψ-y1*sin ψ; y=x1*sin ψ+y1*cos ψ; z=z1

2) x1=x2; y1=y2*cos θ -z2*sin θ; z1=y2*sin θ+z2*cos θ

3) x2=x’*cos φ–y’*sin φ; y2=x’*sin φ +y’*cos φ; z2=z’.

36. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АФФИННЫХ КООРДИНАТ

e1’ = α11* e1 + α12* e2 +α13* e3

e2’ = α21* e1 + α22* e2 +α23* e3

e3’ = α31* e1 + α32* e2 +α33* e3

OM = OO’ + O’M:

x=x0+x’*α11+y’*α21+z’*α31,

y=y0+x’*α12+y’*α22+z’*α32,

z=z0+x’*α13+y’*α23+z’*α33

40.ЭЛЛИПС. ФОКАЛЬНЫЕ РАДИУСЫ, ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ, ДИРЕКТРИСЫ ЭЛЛИПС. ТЕОРЕМА. УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ.

Эксцентриситет e эллипса есть отношение половины расстояния между фокусами к длине большой полуоси: e=c/a. e<1. e=sqrt(1-(b/a)^2).

Эксцентриситет характеризует форму эллипса, а именно степень его «вытянутости»: чем больше эксцентриситет e, тем более эллипс вытянут вдоль оси абсцисс.

Отрезки, соединяющие любую точку эллипса с его фокусами, называются фокальными радиусами эллипса: r1 = F1М, г2 = F2М. r1=a+ex, r2=a-ex.

Две прямые, перпендикулярные прямой, проходящей через фокусы эллипса, и расположенные симметрично по отношению к центру эллипса на расстоянии а/e от него, где а — длина большой полуоси, e – эксцентриситет эллипса, называются директрисами эллипса.

Теорема. Отношение расстояния r произвольной точки эллипса до каждого из фокусов к расстоянию d той же точки до соответствующей фокусу директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса.

r/d=(a-ex)/(-x+a/e)=(a-ex)/((-ex+a)/e)=e.

e=r/d=p/(P+p*cos(x)) p=Pe/(1-e*cos(x)) – уравнение эллипса в полярной системе.

41.ГИПЕРБОЛА. КАНОНИЧЕСКОЕ И ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ. ИССЛЕДОВАНИЯ ФОРМЫ ГИПЕРБОЛЫ.

Гиперболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина 2а, причем эта величина меньше, чем расстояние 2с между фокусами: 2а < 2с, и она

отлична от нуля, т. е. 0 < а < с.

|sqrt((x+c)^2+y^2)-sqrt((x-c)^2+y^2)|=2a Отсюда, положив b^2=c^2-a^2

x^2/a^2 – y^2/b^2=1 - каноническое уравнение гиперболы. (1)

Координаты произвольной точки М(х, у) гиперболы фигурируют в ее уравнении (1) в четных степенях. В связи с этим вместе с точкой М(х, у) данной гиперболе принадлежат точки М’(х,-у), М”(-х,у), М”’(-х,-у), что означает: гипербола (1) имеет две оси симметрии, совпадающие с осями координат, и центр симметрии, совпадающий с началом координат.

Вершинами гиперболы называются точки пересечения ее с осями симметрии. Гипербола (1) имеет две вершины: А’(-а, 0) и А(а,0).

(x/a – y/b)(x/a + y/b)=1 x/a+y/b=t x/a-y/b=1/t. Отсюда получим:

x=a/2(t+1/t) y=b/2(t-1/t) - параметрическое уравнение гиперболы.

50.ЭЛЛИПСОИДЫ. ГИПЕРБОЛОИДЫ. ИХ СВОЙСТВА.

Поверхность, образованная вращением эллипса x’^2/a^2 +y’^2/b^2=1, z’ = 0

вокруг оси ординат, называется эллипсоидом вращения, а его уравнение имеет вид

(X^2+Z^2)/a^2 +Y^2/b^2 =1 (x^2/a^2+ y^2/b^2+z^2/c^2=1). (1)

Из уравнения (1) видно:

1) координатные плоскости являются плоскостями симметрии полученного эллипсоида;

2) начало координат является центром симметрии эллипсоида;

3) эллипсоид представляет собой ограниченную поверхность, заключенную в параллелепипеде |x|<=a, |y|<=b, |z|<=c.

Поверхность, образованная вращением гиперболы x’^2/a^2 - z’^2/c^2=1, y’ = 0

вокруг оси аппликат, называется однополостным гиперболоидом вращения, причем его уравнение имеет вид (X^2+Y^2)/a^2 -Z^2/c^2 =1 (x^2/a^2+ y^2/b^2-z^2/c^2=1).

Поверхность, образованная вращением гиперболы x’^2/a^2 - z’^2/c^2= -1, y’ = 0

вокруг оси аппликат, называется двуполостным гиперболоидом вращения, причем уравнение двуполостного гиперболоида вращения имеет вид

(X^2+Y^2)/a^2 -Z^2/c^2 = -1 (x^2/a^2+ y^2/b^2-z^2/c^2= -1).

51.ПАРАБОЛОИДЫ И ИХ СВОЙСТВА.

Поверхность, образованная вращением параболы z’=x’^2/a^2

вокруг оси аппликат, называется эллиптическим параболоидом вращения, при этом его уравнение имеет вид X^2/a^2 + Y^2/a^2 =Z. (x^2/a^2 + y^2/b^2 =z). (1)

Из уравнения (1) следует, что плоскости Охz и Оуz являются плоскостями симметрии эллиптического параболоида, а ось Оz — его осью симметрии. Точку, в которой ось симметрии пересекает эллиптический параболоид, называют его вершиной. Эллиптический параболоид (1) имеет вершину в начале координат.

Гиперболическим параболоидом называют поверхность, уравнение которой в системе Охуz имеет вид x^2/a^2-y^2/b^2=z. (1)

Из уравнения (1) следует, что плоскости Охz и Оуz являются плоскостями симметрии гиперболического параболоида, ось Оz - его ось симметрии. Точку в которой ось симметрии пересекает гиперболический параболоид, называют его вершиной.

37. УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ

Векторным уравнением поверхности S (линии L) называется уравнение вида F(r)=0 или F(r)= 0.

Векторное уравнение не зависит от системы координат. однако в пространствах разной размерности одно и то же уравнение может описывать различные геометрические объекты. (r - a)*(r - a)=R^2 V³- сфера, V²- окружность, V¹- две точки.

Уравнением поверхности S (линии L) относительно заданной декартовой системы координат называется уравнение F(x,y,z)=0 (F(x,y)=0), если координаты (x,y,z) ((x,y)) любой точки этой поверхности S (линии L) удовлетворяют этому уравнению, а любые числа (x,y,z) (или (x,y)), удовлетворяющие уравнению, являются координатами точки данной поверхности S (линии L).

Уравнением поверхности S относительно цилиндрических координат (плоской линии S относительно полярных координат) называется уравнение F(ρ,φ,z)=0 (F(ρ,φ)=0) …

Уравнением поверхности S относительно сферических координат называется уравнение вида F(ρ,φ,θ)=0.

Параметрическими уравнениями поверхности S относительно декартовой системы координат называется совокупность уравнений вида x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v).

Числа (u,v) называются криволинейными или внутренними координатами точки на поверхности S.

Аналогичным образом определяются параметрические уравнения поверхности относительно цилиндрических и сферических координат.

векторными

Векторное уравнение линии L в трехмерном пространстве определяется системой уравнений вида F(r)=0, G(r)=0

Уравнение линии L в трехмерном пространстве в ДПСК Oxyz определяется системой уравнений вида F(x,y,z)=0, G(x,y,z)=0.

42.ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ, ФОКАЛЬНЫЕ РАДИУСЫ, ДИРЕКТРИСЫ ГИПЕРБОЛЫ. ТЕОРЕМА. УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛЫ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ.

Эксцентриситетом e гиперболы называют отношение половины расстояния между фокусами к длине действительной полуоси: е = с/а. e=sqrt(1+b^2/a^2).

Эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее основного прямоугольника, а именно, величину угла между асимптотами, т. е. форму самой гиперболы. Заметим, что у равносторонней гиперболы е =sqrt(2).

Отрезки, соединяющие произвольную точку гиперболы с ее фокусами, называют фокальными радиусами. r1=a+ex r2= -a+ex.(для левой ветви) r1= -a-ex r2=a-ex (для правой).

Две прямые, перпендикулярные прямой, проходящей через фокусы гиперболы, и расположенные симметрично по отношению к центру гиперболы на расстоянии а/е от него (где а - длина действительной полуоси, е - эксцентриситет гиперболы) называют директрисами данной гиперболы. x=-a/e x=a/e.

Теорема. Отношение расстояния r от произвольной точки гиперболы до каждого из фокусов к расстоянию d той же точки до соответствующей фокусу директрисы есть вели чина постоянная и равная эксцентриситету: r/d=e.

e=p/(-P-pcos(x)) p= -Pe/(1+e*cos(x)) – уравнение левой ветви в полярной системе.

p= Pe/(1-e*cos(x)) – уравнении правой ветви в полярной системе.

43.ПАРАБОЛА. ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ. УРАВНЕНИЕ ПАРАБОЛЫ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ.

Параболой называют геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние r до некоторой фиксированной точки плоскости F, называемой фокусом, равно расстоянию d до некоторой фиксированной прямой d, называемой директрисой.

y^2=2*p*x – каноническое уравнение параболы. (1)

Так как уравнение (1) содержит ординату в квадрате, то, если точка М(х, у) лежит на параболе, тогда и точка М(х, -у) также лежит на параболе. Поэтому ось абсцисс является осью симметрии для параболы (1).

Вершиной параболы называется точка пересечения ее с осью симметрии.

p=P/(1-cos(x)) – уравнение параболы в полярных координатах.

52.ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ И КОНИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ.

Цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси Oz, называют такую поверхность, что вместе со всякой точкой этой поверхности ей принадлежат все точки прямой, проходящей через данную точку параллельно оси Oz.

Теорема. Всякое уравнение вида F(x,y)=0

не содержащее переменной z, определяет в пространстве цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz.

x^2/a^2 + y^2/b^2 =1 (эллиптический цилиндр)

x^2/a^2 - y^2/b^2 =1 (гиперболический цилиндр)

y^2=2px (параболический цилиндр)

Конической поверхностью с вершиной в начале координат называют такую поверхность, что вместе со всякой точкой этой поверхности, отличной от начала координат, ей принадлежат все точки прямой, проходящей через данную точку и начало координат.

Теорема. Всякое уравнение F(x,y,z)=0

в котором F(x,у,z) есть однородная функция степени n, определяет коническую поверхность.

x^2/a^2 + y^2/b^2 – z^2/c^2 =0 (уравнение конической поверхности).

53.ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗУЮЩИЕ ОДНОПОЛОСТНОГО ГИПЕРБОЛОИДА И ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ПАРАБОЛОИДА.

Уравнении однополостного гиперболоида представимо в виде:

(x/a-z/c)(x/a+z/c)=(1-y/b)(1+y/b).

x/a-z/c=Л(1+y/b), x/a+ z/c=1/Л(1-y/b) – прямолинейные образующие для однополостного гиперболоида.

Уравнение гиперболического параболоида представимо в виде:

z=(x/a-y/b)(x/a+y/b)

g(Л): z=Л(x/a-y/b), 1=1/Л *(x/a+y/b).

g’(Л): z=Л(x/a+y/b), 1=1/Л *(x/a-y/b).

38. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ

Уравнение вида F(x,y)=0 называется алгебраическим уравнением порядка n относительно двух переменных, если выражение F(x,y) есть алгебраический полином n-го порядка относительно x и y.

Теорема 1. Если плоская линия в некоторой ДПСК задана алгебраическим уравнением порядка n, то данная линия и в любой другой ДПСК определяется алгебраическим уравнением того же порядка.

Теорема 2. Если поверхность в некоторой ДПСК задана алгебраическим уравнением порядка n, то данная поверхность и в любой другой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением того же порядка.

Поверхность (плоская линия) называется алгебраической порядка n, если в некоторой системе декартовых прямоугольных координат она определяется алгебраическим уравнением n-го порядка. Всякую неалгебраическую поверхность (плоскую линию) будем называть трансцендентной.

Ax+By+Cz+D=0

44.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

а11*х^2 + 2*а12*ху + а22*у^2 + 2*а13*х + 2*а23*у + a33 = 0 – общее уравнение второго порядка.

x=x’+xо, у=у’+yо, Подставив, получим:

а’13=a11*хо+а12*у0+а1З,

а’23 = а12xо + а22*у0 + а23.

a’33 = (а’13 + а13)хо + (а’23 + а23)уо + а33.

45.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРИ ПОВОРОТЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

x=x’*cos(φ)-y’*sin(φ) y=x’*sin(φ)+y’*cos(φ). Подставив в общее уравнение, получим:

a’11 = а11* (cos(φ))^2 + 2*а12 *cos (φ)*sin(φ) + а22*(sin(φ))^2,

а’12 = -a11*cos(φ)*sin(φ)+a12*(cos(φ))^2- a12*(sin(φ))^2+a22*sin(φ)*cos(φ).

a’22=a11*(sin(φ))^2-2*a12*sin(φ)*cos(φ)+a22*(cos(φ))^2.

a’13=a13*cos(φ)+a23*sin(φ)

а’23 = -а13*sin(φ) + a23*cos(φ).

а’33 = а33.

46.ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

n= |(a11 a12) (a12 a22)|

Если n>0, то уравнение эллиптическое, n<0 – гиперболическое, n=0 – параболическое.

54.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

a11*x^2+ а22*у^2 + а33*z^2 + 2*а12*x*у + 2*а23*у*z +2*а13*x*z +2*а14*x +2*а24*у +2*а34*z+а44=0 - общее уравнение поверхностей второго порядка.

x=x’+xо, у=у’+yо z=z’+z0

a’14=a11*x0 +a12*y0+a13*z0+a14,

a’24=a12*x0 +a22*y0+a23*z0+a24,

a’34=a13*x0 +a23*y0+a33*z0+a34,

a’44=a11*x0^2 + a22*y0^2+a33*z0^2+2*a12*x0*y0+2*a23*y0*z0+2*a13*x0*z0+2*a14*x0 +2*a24*y0 +2*a34*z0+a44.

55.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРИ ПОВОРОТЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. СТАНДАРТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ.

a11*x^2+ а22*у^2 + а33*z^2 + 2*а12*x*у + 2*а23*у*z +2*а13*x*z +2*а14*x +2*а24*у +2*а34*z+а44=0 - общее уравнение поверхностей второго порядка.

Берем:

x=x’*α11+y’*α12+z’*α13,

y=x’*α21+y’*α22+z’*α23,

z=x’*α31+y’*α132+z’*α33 и получим новое уравнение для поверхности второго порядка.

Теорема. Существует система координат Ox”y”z” получаемая поворотом исходной системы, в которой коэффициенты при x”у”, у”z”, x”z” общего уравнения поверхности второго порядка S равны нулю.

x’=x”cos(φ) – y”sin(φ), (После упрощения).

y’=x”sin(φ) + y”cos(φ),

z’=z”.

39.ЭЛЛИПС. КАНОНИЧЕСКОЕ И ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЯ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ЭЛЛИПСА.

Эллипсом называется геометрическое место точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина 2а, причем она больше, чем расстояние 2с между фокусами: 2a>2c

d(F1,M)+d(F2,M)=2a или sqrt((x-(-c))^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=2a

(a^2-c^2)*x^2+a^2*y^2=a^2*(a^2-c^2) Отсюда положив b^2=a^2-c^2:

x^2/a^2 + y^2/b^2 =1 – уравнение эллипса (каноническое уравнение эллипса). (1)

Эллипс расположен внутри прямоугольника, сторонами которого являются отрезки прямых х = а, х = - а, у = b, у = - b, так как из соотношения (1) имеем |х|<=а,

|у|<=b. Вершинами эллипса будем называть точки пересечения его с осями координат. Эллипс (1) имеет четыре вершины: А(а, 0), В(0, b), А’(--а, 0), В’(0, - b).

У эллипса, определяемого уравнением (1), в котором а> b, будем называть большой полуосью отрезок ОА или ОА’, а малой полуосью — отрезок ОВ или ОВ’, большой осью — отрезок АА’, малой осью — отрезок ВВ’. Отметим, что фокусы эллипса расположены на большой оси.

Уравнения:

x=a*cos(t); 0<t<2п.

y=b*sin(t);

называют параметрическими уравнениями эллипса (1). Параметр называют эксцентрическим углом точки М на эллипсе. Отметим, что для нахождения угла t произвольной точки М эллипса следует сначала построить окружность на большой оси эллипса как на диаметре, затем через точку М провести прямую, параллельную оси ординат до пересечения в точке N с построенной окружностью, причем точки М и N должны лежать по одну и ту же сторону от большой оси эллипса.

47.ИНВАРИАНТЫ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ.

Выражение f(а11, а12, а22, а13, а2З, а33), не являющееся константой, называют инвариантом уравнения линии l относительно преобразования координат, если, каковы бы ни были ДПСК Оху и О’х’у’, f(а11,а12,а22,а13,а23,а33) = f(а’11,а’12,а’22,а’13,а’23,а’33).

Теорема 1. Инварианты общего уравнения линии 1 второго порядка относительно преобразования координат суть J(Л)=|(a11-p a12) (a12 a22-p)|, J1=a11+a22,

J2=|(a11 a12) (a12 a22)|, J3=|(a11 a12 a13) (a12 a22 a23) (a13 a23 a33)|.

Теорема 2. Величина J’2=|(a11 a13) (a13 a33)| + |(a22 a23) (a23 a33)| является инвариантом уравнения линии 1 относительно однородного ортогонального преобразования (поворота системы координат).

Теорема 3. Если инвариант J2 = J3 = 0, то J’2 является инвариантом и относительно параллельного переноса системы координат.

48.ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОМОЩЬЮ ИНВАРИАНТОВ.

Вычислим инварианты J1, J2, J3, J(Л).

Решим уравнение Л^2 – Л*J1 +J2 =0.

Общее уравнение будет иметь вид: Л1*x^2 +Л2*y^2 +J3/J2.

49.ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ.

Поверхностью вращения называют поверхность, образованную вращением в пространстве плоской кривой вокруг прямой, расположенной в ее плоскости, называемой осью вращения.

Сечения поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения, называют меридианами, а линии пересечения плоскостями, перпендикулярными оси вращения, называют параллелями.

Уравнения поверхностей образованных вращением линий:

F1(+-sqrt(Х^2+Z^2), Y) =0,

F2(+-sqrt(X^2+Y^2),Z)=0,

F3(X,+-sqrt(Y^2+Z^2))=0.

56.ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ.

1 случай: Если δ=|(a11 a12 a13) (a12 a22 a23) (a13 a23 a33)|≠0, то поверхность является центральной. O’(x0,y0,z0) – центр этой поверхности.

Если а12≠0, а23≠0, а13≠0, то нужно выполнить стандартное преобразование системы О’x’y’z’, т. е. рассмотреть систему координат О’x”у”z”, получаемую двумя специальными поворотами системы О’x’y’z’ вокруг начала O’, в которой уравнение поверхности S будет иметь канонический вид a”11*х”^2 + а”22*у”^2 + а”33*z”^22 + а’44 = 0.

2 случай: Если δ=|(a11 a12 a13) (a12 a22 a23) (a13 a23 a33)|≠0, то поверхность S не обладает единственным центром.

1) если a”33=0, a”34=0: a”11*(x”+a”14/a”11)^2+a”22*(y”+a”24/a”22)^2+a44-a”14^2/a”11-a”24^2/a”22=0.

2) a”33=0, a”34≠0: a”11(x”+a”14/a”11)^2 – a”14^2/a”11 +a”22(y”+a”24/a”22)^2 – a”24^2/a”22^2+2*a”34*z”+a44=0

3) a”33=0, a”22=0: a”11(x”+a”14/a”11)^2 + 2*a”24*y”+2*a”34*z” +a44 – a”14^2/a”11.

a”11*x”^2+a”22*y”^2+a”33*z”^2+a’44=0 (2)

a”11*x”^2+a”22*y”^2+a’44=0 если a”33=0, a”34=0 (4)

a”11*x”^2+a”22*y”^2+a”34*z”=0 если a”33=0 a”34≠0 (5)

a”11*x”^2+a’44=0 если a”33=0, a”22=0, a”24=0, a”34=0 (6)

a”11*x”^2+cy”=0 если a”33=0, a”22=0, a”24≠0, a”34≠0 (7)

(2)— либо эллипсоид, либо гиперболоид, либо конус;

(4) — либо цилиндр (эллиптический или гиперболический), либо пару пересекающихся плоскостей;

(5)— параболоид(эллиптический или гиперболический);

(6)— пару плоскостей (параллельных, «мнимых» или «совпадающих»);

(7)— параболический цилиндр.

57.ИНВАРИАНТЫ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ.

a11*x^2+ а22*у^2 + а33*z^2 + 2*а12*x*у + 2*а23*у*z +2*а13*x*z +2*а14*x +2*а24*у +2*а34*z+а44=0 (1)

Выражение φ(а11, а22, a12,.., а34, а44), не являющееся константой, называют инвариантом уравнения поверхности S относительно преобразования координат, если, каковы бы ни были ДПСК Оxyz и О’x’y’z’, справедливо равенство

φ(а11, а22, a12,.., а34, а44)= φ(а’11, а’22, a’12,.., а’34, а’44).

Теорема 1. Инварианты общего уравнения поверхности второго порядка относитёльно преобразования координат суть: J(Л), J1, J2, J3, J4.

Теорема 2. Величины J’3=| (a11 a12 a14) (a12 a22 a24) (a14 a24 a44)| +

| (a11 a13 a14) (a13 a33 a34) (a14 a34 a44)| + | (a22 a23 a24) (a23 a33 a34) (a24 a34 a44)|.

J’2=|(a11 a14) (a14 a44)| + |(a22 a24) (a24 a44)| +|(a33 a34) (a34 a44)|

Являются инвариантами относительно однородного ортогонального преобразования (поворота системы координат).

Теорема 3. Если в результате однородного ортогонального преобразования (поворота системы координат) уравнение (1) можно привести к виду a’11*x’^2+a’22*y’^2+2*a’12*x’*y’+2*a’14*x’+2*a’24*y’+a’44=0, то J’3 – инвариант и относительно параллельного переноса системы координат.

Теорема 4. Если в результате однородного ортогонального преобразования (поворота системы координат) уравнение (1) можно привести к виду a’11*x’^2 +2*a’14*x’+ +a’44=0, то J’2 – инвариант и относительно параллельного переноса системы координат.

58. ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОМОЩЬЮ ИНВАРИАНТОВ.

Подсчитаем инварианты J1, J2, J3, J4, J(Л).

Решим уравнение -Л^3+Л^2*J1 – Л*J2 +J3 =0.

Получим общее уравнение поверхности: Л1*x^2+Л2*y^2 + Л3*z^2 +J4/J3 =0.