Колебания и волны. Лекции 13 страница

2. Другим ярким примером использования методов нелинейной акустики является генерация в воде узконаправленных пучков акустических волн с длиной Это осуществляется с помощью так называемых параметрических антенн. При знакомстве с явлением дифракции волн мы отмечали, что угловая расходимость звукового пучка тем меньше, чем больше размер передающего излучателя (антенны). Проблему изготовления огромных излучающих антенн с размерами в десятки метров можно обойти, используя нелинейное взаимодействие в воде двух параллельно распространяющихся мощных звуковых волн с близкими частотами и Эти волны излучаются горизонтально погруженным в воду одним пьезоизлучателем размером Обе волны до их затухания пройдут расстояние В этой протяженной области рождается волна низкой (разностной) частоты которая затухает гораздо слабее и может пройти очень большие расстояния. Таким образом, вытянутый объем воды с малым поперечным размером и большим продольным размером представляет собой гигантскую естественную антенну, излучающую звуковой пучок разностной частоты вдоль самой вытянутой антенны. Однако, расходимость этого пучка уже будет задаваться выражением

(6.64)

При частоте и при получаем Такая чрезвычайно малая расходимость пучка разностной частоты позволяет с большой точностью проводить морские исследования: изучать рельеф дна, заниматься археологическими изысканиями в придонных слоях грунта, в заиленных озерах, обнаруживать скопления рыбы у поверхности и дна моря, на мелководье - там, где обычные гидролокаторы неэффективны, и т.д.

Уединенные волны (солитоны).

В 1834 году шотландский инженер-кораблестроитель и ученый Дж. Рассел, наблюдая за движением баржи по каналу, которую тащила пара лошадей, обратил внимание на удивительное явление. При внезапной остановке судна масса воды вокруг баржи в узком канале не остановилась, а собралась около носа судна, и затем оторвалась от него и в виде большого уединенного водного холма стала двигаться со скоростью около 8 миль в час. Удивительно, что форма холма в процессе его движения практически не менялась. Рассел назвал это движущееся по поверхности воды образование "great solitary wave", что в переводе означает "большая уединенная волна".

Теоретическое объяснение уединенные волны получили впоследствии в работах французского ученого Ж. В. де Буссинеска и английского физика Дж. Рэлея. Они обосновали математически возможность существования уединенных волн в мелководных каналах.

После смерти Рассела в 1895 году голландский физик Д. Кортевег и его ученик Г. де Фрис вывели уравнение, описывающее уединенные волны. Это уравнение получило название уравнения Кортевега - де Фриса (уравнение КДФ) и имеет вид

(6.65)

Оно описывает распространение поверхностных гравитационных волн на мелкой воде. Здесь - скорость волн мелкой воды, - глубина водоема. Отметим сразу, что по виду уравнение КДФ отличается от нелинейного уравнения (6.50) наличием дополнительного члена ответственного за дисперсию гравитационных волн (хотя и небольшую на мелкой воде).

Рассмотрим несколько подробнее влияние нелинейности и дисперсии на распространение поверхностных гравитационных волн. По аналогии с нелинейными акустическими волнами сразу можем сказать, что скорость различных участков поверхностной волны будет различна:

(6.66)

Из-за различия скоростей (гребень волны движется быстрее впадины) происходит превращение гармонической волны в пилообразную. Крутой фронт под действием силы тяжести опрокидывается, и на поверхности воды появляются пенистые гребешки. Опрокидывание фронта легко наблюдать при движении волны по мелководью вблизи берега (рис. 6.12). Однако в ряде случаев нелинейное искажение волны может компенсироваться дисперсией. В самом деле, пилообразная волна представляет собой набор гармонических волн с разными частотами. Из-за дисперсии эти волны движутся с разными скоростями, и поэтому пилообразный фрагмент волны, подобно импульсу, стремится расшириться. При определенной форме фрагмента оба конкурирующих механизма могут компенсировать друг друга, и тогда по поверхности воды побежит устойчивая структура в виде уединенной волны (солитона). Выясним некоторые свойства этой уединенной волны.

Рис. 6.12.

Предположим, что солитон имеет амплитуду протяженность вдоль оси O x, равную и представляет собой некоторый холмик, изображенный на рисунке 6.13. Оценим величины нелинейного и дисперсионного членов в уравнении КДФ:

(6.67)

В (6.67) учтено, что на переднем и заднем фронтах холмика Естественно, что оба механизма будут компенсировать друг друга при условии

(6.68)

Последнее накладывает связь на амплитуду и длину солитона:

(6.69)

Таким образом, чем больше амплитуда солитона тем меньше должна быть его длина Скорость солитона c возрастает с ростом амплитуды, что характерно для нелинейного распространения волн.

Рис. 6.13.

Точное решение уравнения КДФ, описывающее солитон, имеет вид

(6.70)

При этом длина солитона связана с амплитудой соотношением

(6.71)

а скорость

(6.72)

Если то последнее выражение можно переписать в виде

(6.73)

Эту формулу мы уже записывали при качественном обсуждении поведения гравитационных волн по мере их приближения к берегу.

Важно подчеркнуть, что солитон является устойчивой структурой. Если первоначально соотношение (6.71) не выполняется и амплитуда слишком велика, то водяной холм распадается на несколько меньших холмиков, из которых сформируются солитоны. Напротив, если слишком мала, то такой низкий холм расползется вследствие дисперсии.

По современным представлениям большинство волн цунами образуются, когда достаточно крупный, но безвредный в океане солитон выбрасывается на берег. При подходе к берегу он становится выше и короче, и его высота становится сравнима с глубиной океана вблизи берега.

В заключение этой темы отметим, что в настоящее время обнаружены солитоны для волн различной природы. Так, например, существуют солитоны при распространении акустических волн в кристаллах, световых импульсов в волоконных световодах, ионно-звуковых волн в плазме и др. Во всех случаях существование солитонов обусловлено взаимной компенсацией нелинейных и дисперсионных эффектов. Естественно, что энергия, переносимая уединенной волной любой природы, будет диссипировать в тепло, поэтому по мере распространения амплитуда солитона будет стремиться уменьшиться, что, естественно, рано или поздно приведет к его исчезновению.

Дата добавления: 2015-08-29