Колебания и волны. Лекции 3 страница

где

(3.32)

Безразмерный коэффициент связи \gamma между двумя системами может принимать значения Если из (3.31) определить нормальные частоты и то они будут выражаться через парциальные частоты и и коэффициент Эти четыре частоты будут располагаться на оси частот в последовательности, изображенной на рис. 3.9.

Рис. 3.9.

При слабой связи нормальные частоты близки к парциальным, а при сильной связи различие в частотах становится существенным. Это хорошо видно, если парциальные частоты совпадают Тогда (3.31) примет вид:

Отсюда

Затухание колебаний.

Если энергия не подводится извне, то колебания связанных осцилляторов будут затухать. Поскольку сила вязкого трения пропорциональна скорости, то уравнения (3.21) с учетом затухания примут вид:

(3.34)

Здесь и - коэффициенты затухания для первого и второго осцилляторов. Если искать решение этой системы в виде нормальных затухающих колебаний:

(3.35)

то после подстановки (3.35) в (3.34) можно найти нормальную частоту , коэффициент затухания и конфигурацию каждой из двух мод. Опуская промежуточные выкладки, отметим, что при и (слабое затухание) нормальные частоты и распределение амплитуд в модах будут близки к тем, что и в отсутствие затухания. Для коэффициента затухания получается выражение:

(3.36)

Можно видеть, что при произвольном соотношении между и коэффициенты затухания мод и получаемые из (3.36) при и будут различными.

Если парциальные частоты совпадают то

(3.37)

Если а то

(3.38)

Последним результатом мы воспользуемся при рассмотрении диссипации энергии в связанной колебательной системе.

Энергия колебательной системы и ее диссипация.

Рассмотрим колебания двух одинаковых масс (рис. 3.10а), закрепленных на растянутом легком резиновом шнуре.

Рис. 3.10.

Если один из грузов оттянуть на расстояние (б) и затем одновременно отпустить обе массы, то их колебания будут иметь вид биений. С другой стороны, при этих начальных условиях будут возбуждены две моды (в и г) с одинаковыми амплитудами колебаний обеих масс, равными Энергия, запасенная в первой моде, равна сумме кинетических энергий обеих масс при прохождении ими положения равновесия со скоростью т.е.:

(3.39а)

а энергия второй моды, аналогично, равна

(3.39б)

Важно отметить, что энергообмен между модами отсутствует, а полная энергия системы равна сумме энергий ее мод. В то же время в процессе биений энергия первого осциллятора за время, равное половине периода биений, "перетекает" ко второму осциллятору и затем за такое же время возвращается обратно. Полный энергообмен между осцилляторами возможен лишь тогда, когда обе массы одинаковы и отношение равно целому числу т.е.:

(3.40)

Следовательно, частота должна быть кратной частоте биений. В самом деле, при выполнении условия (3.40) каждая из масс будет периодически останавливаться в положении равновесия (как следует из формул (3.17)). С течением времени колебания будут затухать, и будет экспоненциально уменьшаться энергия, запасенная в модах:

(3.41а)

(3.41б)

Важно подчеркнуть, что через время энергия каждой из мод уменьшится в е раз, при этом противофазная мода "потеряет" больше энергии, чем синфазная, поскольку начальная энергия у нее была больше, чем (см. (3.39)).

Вынужденные колебания.

Рассмотрим основные закономерности вынужденных установившихся колебаний в системе, изображенной на рис. 3.11, если на левую массу действует сила Уравнения движения в этом случае будут отличаться от (3.34) наличием этой силы в правой части первого уравнения:

(3.42)

Нетрудно догадаться, что решениями этой системы в установившемся режиме являются гармонические функции

(3.43)

которые отражают тот факт, что обе массы колеблются на частоте вынуждающей силы. Подставляя (3.43) в (3.42), можно вычислить амплитуды и фазы вынужденных колебаний. Мы ограничимся лишь обсуждением результатов.

Рис. 3.11.

На рис. 3.12 изображена АЧХ для первого осциллятора, к которому приложена сила. Обращает на себя внимание наличие двух резонансов, которые при малом затухании наблюдаются на нормальных частотах и . При изменении частоты от до амплитуда падает и достигает минимума на второй парциальной частоте при этом с уменьшением затухания амплитуда на этой частоте стремится к нулю. Это обстоятельство используют для подавления отклика системы на действие внешней силы. В радиотехнике, где используются связанные колебательные контуры, их применяют как фильтры и демпферы.

Рис. 3.12.

Два резонанса имеют место и для смещения второй массы. Если проанализировать отношение амплитуд в зависимости от частоты то оказывается, что это отношение вблизи частоты равно коэффициенту распределения амплитуд для первой моды, а вблизи частоты - коэффициенту распределения амплитуд для второй моды. Это используется для определения этих коэффициентов, поскольку при вынужденных колебаниях это сделать проще, чем при собственных.

Колебания систем со многими степенями свободы.

Основные идеи, сформулированные при рассмотрении колебаний систем с двумя степенями свободы, теперь могут быть с успехом использованы для анализа колебаний систем с тремя, четырьмя, степенями свободы, и в пределе, при для анализа колебаний в сплошных средах, т.е. волн.

Обратимся вначале к колебаниям трех одинаковых масс закрепленных на равных расстояниях на натянутом легком резиновом шнуре, как показано на рис. 3.13а. Любое колебание этой системы может быть представлено как суперпозиция трех нормальных колебаний с частотами и Опуская на время вопрос о величине частот, найдем конфигурацию этих мод. Примем во внимание, что квадрат частоты колебаний каждой массы в данной моде должен быть одинаков. Этого можно добиться в случае, когда отношения возвращающей силы к величине массы и ее смещению у всех грузов будут одинаковыми. Такие условия реализуются при смещении масс тремя способами (б, в и г на рис. 3.13). При отпускании грузов из положения (б) в системе будет происходить первое нормальное колебание на частоте ; из положения (в) - второе на частоте ; из положения (г) - третье на частоте Очевидно, что

Рис. 3.13.

Конфигурация каждой из мод может быть описана с помощью двух коэффициентов распределения амплитуд. Забегая вперед, отметим, что для четырех масс таких коэффициентов должно быть три, и т.д.

Однако ситуация может быть упрощена, если обратить внимание, что расположение масс в позициях (б), (в) и (г) на рис. 3.13 напоминает "синусоидальное" (пунктиром изображен фрагмент функции где - некоторый параметр, характеризующий период этой функции). Тогда конфигурация первой моды будет описана следующим образом:

(3.44а)

Для второй моды:

(3.44б)

Для третьей моды:

(3.44в)

Роль безразмерных коэффициентов выполняет функция вычисленная в точках

Другими примерами связанных осцилляторов являются атомы в молекулах CO₂, H₂O и т. д. На рис. 3.14 изображены конфигурации мод и приведены значения частот нормальных колебаний молекул. Обратим внимание, что эти частоты имеют порядок величины с^-1 и значительно превышают (на несколько порядков) частоты механических колебаний макроскопических систем. Резонансные колебания этих (и других) молекул можно возбудить при взаимодействии разноименно заряженных ионов, составляющих эти молекулы, с электрическим полем световой электромагнитной волны инфракрасного (ИК) диапазона, имеющей близкую частоту.

Рис. 3.14.

В курсе "Оптика" мы познакомимся с таким взаимодействием, приводящим, в частности, к ослаблению (поглощению) энергии световой волны и ее рассеянию в среде с колеблющимися молекулами (комбинационному рассеянию).

Будем увеличивать число масс, закрепленных на шнуре через равные промежутки а. Если - число этих масс, то полная длина шнура равна (рис. 3.15). Рассчитаем нормальные частоты всех мод и их конфигурации. Будем считать, что невесомый шнур натянут с силой и при малых отклонениях масс от положения равновесия эта сила не меняется. Каждая масса испытывает действие сил натяжения шнура по обе стороны от нее.

Рис. 3.15.

На рис. 3.16 показано мгновенное положение фрагмента шнура и трех масс. Если углы и малы, то возвращающая сила, действующая на среднюю массу, равна:

(3.45)

Рис. 3.16.

Величины углов и определяются взаимным расположением масс:

(3.46)

С учетом (3.45) и (3.46) уравнение движения средней массы примет вид:

(3.47)

Если колебания являются нормальными, то

(3.48)

где частоту и распределение амплитуд предстоит определить.

Подставляя (3.48) в (3.47), получим

(3.49)

Поскольку то (3.49) представляет собой систему линейных однородных уравнений. Из условия равенства нулю ее определителя можно рассчитать все нормальных частот, а затем для каждой из этих частот определить распределение амплитуд в каждой моде, число которых, очевидно, будет равно

Мы же используем уже описанный ранее более легкий путь и будем искать конфигурацию каждой моды в виде "синусоидальной" конфигурации:

(3.50)

где

Убедимся, что конфигурация (3.50) удовлетворяет уравнению (3.49), которое перепишем в виде:

(3.51)

где

Подставим (3.50) в левую часть (3.51):

(3.52)

Очевидно, что (3.50) удовлетворит уравнению (3.49), если подобрать для данного подходящую частоту

Параметр назовем волновым числом. Объяснение этому будет дано в последующих лекциях. Этот параметр должен быть таким, чтобы на концах закрепленного шнура удовлетворялись граничные условия. При эти условия выполняются: На другом конце, где потребуем, чтобы

(3.53)

откуда получаем:

(3.54)

где целое число характеризует номер моды (количество мод, как было показано выше, равно ). Каждой p -ой моде соответствует своя частота, которая легко находится из уравнения (3.52):

(3.55)

Зная волновые числа и нормальные частоты не составляет труда записать выражения для смещений всех масс, как функций времени. Для р -ой моды можно записать:

(3.56)

здесь

Амплитуда и начальная фаза определяются начальными условиями, а и - свойствами самой системы (формулы 3.54 и 3.55).

В силу линейности колебательной системы в самом общем случае колебаний получаем для смещения всех частиц выражение:

(3.57)

где суммирование проводится только по тем модам, которые "участвуют" в колебаниях.

Так, например, удерживая все время среднюю массу в положении равновесия, мы не можем возбудить моды с нечетными номерами поскольку эти моды "требуют" смещения центральной массы.

Пользуясь формулой (3.55), нетрудно вычислить нормальные частоты колеблющихся масс на шнуре.

На рис. 3.17 изображены моды колебаний в системе с одной, двумя и тремя массами и для каждой моды указаны величины нормальных частот.

Рис. 3.17.

В заключение отметим, что связь типа (3.55) между частотой и волновым числом называется дисперсионным соотношением. Это соотношение будет далее использовано при анализе распространения волн в периодических структурах.

Лекция 4

Распространение возмущений в системе с большим числом степеней свободы. Скорость распространения. Возбуждение волн. Группа волн и ее скорость. Волновое уравнение. Волны в сплошном шнуре. Отражение волн. Возбуждение стоячих волн в шнуре. Моды колебаний. Волны в упругих телах. Поперечные волны. Энергия, переносимая волной. Вектор Умова. Продольные волны. Скорость волн в тонком и толстом стержнях. Отражение и прохождение волн на границах двух сред. Удельное волновое сопротивление.

Распространение возмущений в системе с большим числом степеней свободы.

Рассмотрим колебания масс на резиновом шнуре (рис. 4.1а). Отклоним несколько масс в середине шнура от положения равновесия (рис 4.1б), и затем отпустим их в момент времени Как показывает опыт, эта начальная конфигурация, представляющая собой по форме импульс, с течением времени трансформируется в два одинаковых импульса, которые побегут в разные стороны с некоторой конечной скоростью c (рис. 4.1в). Эти импульсы добегут до концов шнура, изменят свою полярность при отражении и побегут в обратном направлении (рис. 4.1г). После встречи в середине шнура они отразятся еще раз, восстановят исходную полярность и спустя время вновь встретятся в середине, сформировав исходный импульс. Затем этот процесс с периодом будет повторяться до тех пор, пока импульсы не затухнут из-за диссипации энергии.

Рис. 4.1.

С точки зрения повседневного опыта в этом нет ничего удивительного, поскольку смещения группы масс ведут к возникновению упругих сил, стремящихся вернуть эту группу в положение равновесия и одновременно вывести соседние частицы из положения равновесия.

С точки зрения описания колебаний "на языке мод" также понятно, что отклонив, а затем отпустив группу частиц, мы возбуждаем много мод. Колебания всех частиц происходят одновременно на нескольких нормальных частотах Все эти частоты различны, и сумма нормальных колебаний представляет собой биения. Поскольку через время, равное периоду биений, колебания группы частиц в центре шнура восстановятся, то очевидно, что период биений равен упоминавшемуся несколько ранее времени

Дата добавления: 2015-08-29