11. Пусть 
. Найти: а) скалярное произведение 
× 
; б) площадь треугольника, построенного на векторах и .
12. Даны A1 (1, 2, – 3), A2 (1, 0, 1), A3 (– 2, – 1, 6), A4 (0, – 5, – 4). Найти: а) 
; б) площадь грани A1A2A3; в) 
; г) объём пирамиды A1A2A3A4.
13. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (– 1; – 1), B (– 3; – 2), C (– 4; 2). Требуется найти:
1) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC;
2) уравнение медиан треугольника и их точку пересечения;
3) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;
4) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC.
14. Записать уравнение прямой, проходящей через точку A (4; 3) и составляющей с осью Ox угол:
а) 45°; б) 90°; в) 0°.
15. Уравнения линий второго порядка
а) x2 + 4y2 – 4x – 8y + 8 = 0; б) x2 + 2x – 4y + 5 = 0
привести к каноническому виду. Определить:
1) тип кривых;
2) координаты фокусов;
3) эксцентриситеты;
4) уравнения асимптот, если они имеются;
5) сделать чертёж.
16. Составить уравнение линии, для каждой точки которой разность расстояний от точек A (3; 2) и B (3; – 6) равна a = 6. Привести его к каноническому виду и построить линию.
17. Даны координаты четырёх точек A (2; 1; – 1), B (1; 2; 1), C (5; 0; 6), D (14; – 3; 7) в пространстве. Требуется найти:
1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;
2) уравнение прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;
3) высоту пирамиды, опущенной из вершины D на грань ABC.
Составил Зайцев В. П.
АлтГТУ им. И.И. Ползунова
Кафедра высшей математики
Индивидуальное задание для студентов направления «Экономика»
по дисциплине «Линейная алгебра» (1 семестр)
Вариант № 24
1. Решить уравнение
.
2. Найти
.
3. Решить матричное уравнение
.
4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера
.
5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти все её решения, если они есть
.
6. Найти общее решение однородной системы и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений, установить размерность пространства)
.
7. Найти координаты вектора x в базисе 
, если он задан в базисе 
:
.
8. Найти матрицу 
линейного оператора в базисе , если она задана в базисе :
, 
.
9. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей
.
10. Даны векторы =(20, 4, x), =(– 5,– 1, 6), 
=(– 2, 0, 0), 
=(– 3, 1, 1). Найти: а) при каких значениях x: || , ^ , векторы , , – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора ; в) скалярное произведение × ; г) векторное произведение ´ .
11. Пусть 
. Найти: а) скалярное произведение × ; б) площадь треугольника, построенного на векторах и .
12. Даны A1 (3, 10, – 1), A2 (– 2, 3, – 5), A3 (– 5, 0, – 3), A4 (1, – 1, 2). Найти: а) ; б) площадь грани A1A2A3; в) ; г) объём пирамиды A1A2A3A4.
13. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (– 1; 3), B (– 3; – 1), C (0; – 3). Требуется найти:
1) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC;
2) уравнение медиан треугольника и их точку пересечения;
3) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;
4) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC.
14. Какую ординату имеет точка C, лежащая на одной прямой с точками A (– 6; – 6), B (– 3; 1) и имеющая абсциссу, равную 3?
15. Уравнения линий второго порядка
а) 5x2 + 8y2 + 10x + 16y + 5 = 0; б) x2 + y2 + 6x – 6y – 3 = 0
привести к каноническому виду. Определить:
1) тип кривых;
2) координаты фокусов;
3) эксцентриситеты;
4) уравнения асимптот, если они имеются;
5) сделать чертёж.
16. Составить уравнение линии, для каждой точки которой разность расстояний от точек A (0; 3) и B (0; – 7) равна a = 8. Привести его к каноническому виду и построить линию.
17. Даны координаты четырёх точек A (– 2; 0; – 4), B (– 1; 7; 1), C (4; – 8; – 4), D (6; 5; 5) в пространстве. Требуется найти:
1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;
2) уравнение прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;
3) высоту пирамиды, опущенной из вершины D на грань ABC.
Составил Зайцев В. П.
АлтГТУ им. И.И. Ползунова
Кафедра высшей математики
Индивидуальное задание для студентов направления «Экономика»
по дисциплине «Линейная алгебра» (1 семестр)
Вариант № 25
1. Вычислить определитель
.
2. Найти произведение матриц
.
3. Найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку
.
4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера
.
5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти все её решения, если они есть
.
6. Найти общее решение однородной системы и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений, установить размерность пространства)
.
7. Найти координаты вектора x в базисе , если он задан в базисе :
.
8. Найти матрицу линейного оператора в базисе , если она задана в базисе :
, .
9. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей
.
10. Даны векторы =(3, – 1, x), =(9, – 3, 6), =(– 2, 0, 1), =(1, 3, 5). Найти: а) при каких значениях x: || , ^ , векторы , , – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора ; в) скалярное произведение × ; г) векторное произведение ´ .
11. Пусть 
. Найти: а) скалярное произведение × ; б) площадь треугольника, построенного на векторах и .
12. Даны A1 (– 1, 2, 4), A2 (– 1, – 2, – 4), A3 (3, 0, – 1), A4 (7, – 3, 1). Найти: а) ; б) площадь грани A1A2A3; в) ; г) объём пирамиды A1A2A3A4.
13. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (1; 5), B (3; 1), C (– 1; 0). Требуется найти:
1) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC;
2) уравнение медиан треугольника и их точку пересечения;
3) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;
4) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC.
14. Записать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2x – 5y – 1 = 0 и x + 4y – 7 = 0 и делящую отрезок между точками A (4; – 3) и B (– 1; 2) в отношении l = 
.
15. Уравнения линий второго порядка
а) 8x2 – 25y2 + 16x + 50y – 217 = 0; б) y2 + x + 2y + 3 = 0
привести к каноническому виду. Определить:
1) тип кривых;
2) координаты фокусов;
3) эксцентриситеты;
4) уравнения асимптот, если они имеются;
5) сделать чертёж.
16. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояния до точки A (–3; 1) к расстоянию до прямой L: 3x + 17 = 0 равно l = 3.
17. Даны координаты четырёх точек A (14; 4; 5), B (– 5; – 3; 2), C (– 2; – 6; – 3), D (– 1; – 8; – 7) в пространстве. Требуется найти:
1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;
2) уравнение прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;
3) высоту пирамиды, опущенной из вершины D на грань ABC.
Составил Зайцев В. П.
Дата добавления: 2015-08-29; просмотров: 23 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |