Кафедра высшей математики 4 страница

11. Пусть . Найти: а) скалярное произведение × ; б) площадь треугольника, построенного на векторах и .

12. Даны A₁ (2, 3, 1), A₂ (4, 1, 2), A₃ (6, 3, 7), A₄ (7, 5, – 3). Найти: а) ; б) площадь грани A₁A₂A₃; в) ; г) объём пирамиды A₁A₂A₃A₄.

13. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (1; 3), B (3; 1), C (4; 5). Требуется найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC;

2) уравнение медиан треугольника и их точку пересечения;

3) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;

4) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC.

14. Найти уравнения высот треугольника ABC, проходящих через вершины A и B, если A (3; – 5), B (1; 6), C (0; 2).

15. Уравнения линий второго порядка

а) – 25x² + 9y² – 100x – 54y – 244 = 0; б) x² + y² – 2x – 6y – 15 = 0

привести к каноническому виду. Определить:

1) тип кривых;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситеты;

4) уравнения асимптот, если они имеются;

5) сделать чертёж.

16. Составить уравнение линии, для каждой точки которой сумма расстояний от точек A (3; 1) и B (– 1; 1) равна a = 8. Привести его к каноническому виду и построить линию.

17. Даны координаты четырёх точек A (2; – 4; – 3), B (5; – 6; 0), C (– 1; 3; – 3), D (2; – 10; 8) в пространстве. Требуется найти:

1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;

2) уравнение прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;

3) высоту пирамиды, опущенной из вершины D на грань ABC.

Составил Зайцев В. П.

АлтГТУ им. И.И. Ползунова

Кафедра высшей математики

Индивидуальное задание для студентов направления «Экономика»

по дисциплине «Линейная алгебра» (1 семестр)

Вариант № 15

1 Доказать тождество:

.

2. Найти

.

3. Найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку

.

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

.

5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти все её решения, если они есть

.

6. Найти общее решение однородной системы и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений, установить размерность пространства)

.

7. Найти координаты вектора x в базисе , если он задан в базисе :

.

8. Найти матрицу линейного оператора в базисе , если она задана в базисе :

, .

9. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей

.

10. Даны векторы =(16, 12, x), =(4, 3, 5), =(0, – 3, – 1), =(– 4, 1, 2). Найти: а) при каких значениях x: || , ^ , векторы , , – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора ; в) скалярное произведение × ; г) векторное произведение ´ .

11. Пусть . Найти: а) скалярное произведение × ; б) площадь треугольника, построенного на векторах и .

12. Даны A₁ (1, 1, – 1), A₂ (2, 3, 1), A₃ (3, 2, 1), A₄ (5, 9, – 8). Найти: а) ; б) площадь грани A₁A₂A₃; в) ; г) объём пирамиды A₁A₂A₃A₄.

13. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (2; 4), B (8; 0), C (0; – 2). Требуется найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC;

2) уравнение медиан треугольника и их точку пересечения;

3) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;

4) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC.

14. Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров, проведённых через середины сторон треугольника, вершинами которого служат точки A (5; 3), B (0; – 3), C(1; 2).

15. Уравнения линий второго порядка

а) 16x² + 9y² + 64x – 36y – 44 = 0; б) x² + y² + 4x – 6y – 3 = 0

привести к каноническому виду. Определить:

1) тип кривых;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситеты;

4) уравнения асимптот, если они имеются;

5) сделать чертёж.

16. Составить уравнение линии, для каждой точки которой сумма расстояний от точек A (– 2; – 1) и B (0; – 1) равна a = . Привести его к каноническому виду и построить линию.

17. Даны координаты четырёх точек A (1; – 1; 2), B (2; 1; 2), C (1; 1; 4), D (– 3; 2; 7) в пространстве. Требуется найти:

1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;

2) уравнение прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;

3) высоту пирамиды, опущенной из вершины D на грань ABC.

Составил Зайцев В. П.

АлтГТУ им. И.И. Ползунова

Кафедра высшей математики

Индивидуальное задание для студентов направления «Экономика»

по дисциплине «Линейная алгебра» (1 семестр)

Вариант № 16

1. Вычислить определитель

.

2. Найти произведение матриц

.

3. Решить матричное уравнение

.

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

.

5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти все её решения, если они есть

.

6. Найти общее решение однородной системы и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений, установить размерность пространства)

.

7. Найти координаты вектора x в базисе , если он задан в базисе :

.

8. Найти матрицу линейного оператора в базисе , если она задана в базисе :

, .

9. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей

.

10. Даны векторы =(x, – 4, 1), =(5, – 8, 2), =(4, 0, – 1), =(5, 1, 1). Найти: а) при каких значениях x: || , ^ , векторы , , – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора ; в) скалярное произведение × ; г) векторное произведение ´ .

11. Пусть . Найти: а) скалярное произведение × ; б) площадь треугольника, построенного на векторах и .

12. Даны A₁ (1, 5,– 7), A₂ (– 3, 6, 3), A₃ (– 2, 7, 3), A₄ (– 4, 8,– 10). Найти: а) ; б) площадь грани A₁A₂A₃; в) ; г) объём пирамиды A₁A₂A₃A₄.

13. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (– 1; – 4), B (– 2; 0), C (2; 2). Требуется найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC;

2) уравнение медиан треугольника и их точку пересечения;

3) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;

4) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC.

14. Составить уравнение высоты, проведённой через вершину A треугольника ABC, зная уравнение его сторон: AB: 2x – y – 3 = 0, AC: x + 5y – 7 = 0, BC: 3x – 2y + 13 = 0.

15. Уравнения линий второго порядка

а) – 9x² + 25y² – 18x – 100y – 134 = 0; б) x² – 4x – 4y + 4 = 0

привести к каноническому виду. Определить:

1) тип кривых;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситеты;

4) уравнения асимптот, если они имеются;

5) сделать чертёж.

16. Составить уравнение линии, для каждой точки которой сумма расстояний от точек A (– 1; 2) и B (– 1; 6) равна a = 6. Привести его к каноническому виду и построить линию.

17. Даны координаты четырёх точек A (1; 3; 6), B (2; 2; 1), C (– 1; 0; 1), D (5; – 4; 5) в пространстве. Требуется найти:

1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;

2) уравнение прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;

3) высоту пирамиды, опущенной из вершины D на грань ABC.

Составил Зайцев В. П.

АлтГТУ им. И.И. Ползунова

Кафедра высшей математики

Индивидуальное задание для студентов направления «Экономика»

по дисциплине «Линейная алгебра» (1 семестр)

Вариант № 17

1. Вычислить определитель матрицы 3А–2В, где

.

2. Найти произведение матриц

.

3. Найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку

.

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

.

5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти все её решения, если они есть

.

6. Найти общее решение однородной системы и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений, установить размерность пространства)

.

7. Найти координаты вектора x в базисе , если он задан в базисе :

.

8. Найти матрицу линейного оператора в базисе , если она задана в базисе :

, .

9. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей

.

10. Даны векторы =(– 2, x, – 3), =(6, 5, 9), =(2, – 3, 0), =(– 1, 5, 0). Найти: а) при каких значениях x: || , ^ , векторы , , – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора ; в) скалярное произведение × ; г) векторное произведение ´ .

11. Пусть . Найти: а) скалярное произведение × ; б) площадь треугольника, построенного на векторах и .

12. Даны A₁ (– 3, 4, 7), A₂ (1, 5, – 4), A₃ (– 5, – 2, 0), A₄ (2, 5, 4). Найти: а) ; б) площадь грани A₁A₂A₃; в) ; г) объём пирамиды A₁A₂A₃A₄.

13. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (4; – 2), B (1; 1), C (9; 2). Требуется найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC;

2) уравнение медиан треугольника и их точку пересечения;

3) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;

4) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC.

14. Дан треугольник с вершинами A (6; 1), B (– 2; 7) и C(5; – 12). Найти уравнение и вычислить длину медианы, проведённой из вершины C.

15. Уравнения линий второго порядка

а) 9x² + 16y² – 54x + 32y – 47 = 0; б) x² + y² – 2x + 6y – 15 = 0

привести к каноническому виду. Определить:

1) тип кривых;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситеты;

4) уравнения асимптот, если они имеются;

5) сделать чертёж.

16. Составить уравнение линии, для каждой точки которой сумма расстояний от точек A (1; 3) и B (1; – 3) равна a = 8. Привести его к каноническому виду и построить линию.

17. Даны координаты четырёх точек A (– 4; 2; 6), B (2; – 3; 0), C (– 10; 5; 8), D (– 12; 1; 8) в пространстве. Требуется найти:

1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;

2) уравнение прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;

3) высоту пирамиды, опущенной из вершины D на грань ABC.

Составил Зайцев В. П.

АлтГТУ им. И.И. Ползунова

Кафедра высшей математики

Индивидуальное задание для студентов направления «Экономика»

по дисциплине «Линейная алгебра» (1 семестр)

Вариант № 18

1. Вычислить определитель

.

2. Найти

.

3. Решить матричное уравнение

.

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

.

5. Исследовать систему линейных уравнений методом Гаусса и найти все её решения, если они есть

.

6. Найти общее решение однородной системы и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений, установить размерность пространства)

.

7. Найти координаты вектора x в базисе , если он задан в базисе :

.

8. Найти матрицу линейного оператора в базисе , если она задана в базисе :

, .

9. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей

.

10. Даны векторы =(1, 5, x), =(– 2, – 10, 6), =(2, 0, 0), =(4, – 1, 7). Найти: а) при каких значениях x: || , ^ , векторы , , – компланарны; б) длину и направляющие косинусы вектора ; в) скалярное произведение × ; г) векторное произведение ´ .

11. Пусть . Найти: а) скалярное произведение × ; б) площадь треугольника, построенного на векторах и .

12. Даны A₁ (– 1, 2, – 3), A₂ (4, – 1, 0), A₃ (2, 1, – 2), A₄ (3, 4, 5). Найти: а) ; б) площадь грани A₁A₂A₃; в) ; г) объём пирамиды A₁A₂A₃A₄.

13. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (1; 5), B (3; – 1), C (– 3; – 1). Требуется найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины A на сторону BC;

2) уравнение медиан треугольника и их точку пересечения;

3) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC;

4) уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC.

14. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения прямых 2x + 5y – 8 = 0 и 2x + 3y + 4 = 0.

15. Уравнения линий второго порядка

а) 16x² – 4y² – 32x + 24y – 84 = 0; б) x² + y² – 8x + 2y + 13 = 0

привести к каноническому виду. Определить:

1) тип кривых;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситеты;

4) уравнения асимптот, если они имеются;

5) сделать чертёж.

16. Составить уравнение линии, для каждой точки которой сумма расстояний от точек A (2; 1) и B (2; – 3) равна a = . Привести его к каноническому виду и построить линию.

17. Даны координаты четырёх точек A (7; 2; 4), B (7; – 1; – 2), C (– 5; – 2; – 1), D (10; 1; 8) в пространстве. Требуется найти:

1) уравнение плоскости, содержащей грань ABC;

2) уравнение прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани ABC;

3) высоту пирамиды, опущенной из вершины D на грань ABC.

Составил Зайцев В. П.

АлтГТУ им. И.И. Ползунова

Кафедра высшей математики

Индивидуальное задание для студентов направления «Экономика»

по дисциплине «Линейная алгебра» (1 семестр)

Вариант № 19

Дата добавления: 2015-08-29