Образец решения индивидуального задания

Приложение 2

Образец решения индивидуального задания

Вариант 1

Задание 1. Вычислить:

1) ; 2) ; 3) .

Решение. 1) Вычислим значение выражения по действиям:

I. (2-4 i)³=[применяем формулу куба разности]=

=2³-3×2²×4 i +3×2×(4 i)²-(4 i)³=8-12 i -96+64 i =-88+52 i.

II. (2- i)³=[аналогично предыдущему]=

=2³-3×2²× i +3×2× i ²- i ³=8-12 i -6+ i =2-11 i.

III. (2-4 i)³+(2- i)³=(-88+52 i)+(2-11 i)=(-88+2)+(52-11) i =-86+41 i.

IV. (3+2 i)³=[по формуле квадрата суммы]=

=3²+2×3×2 i +(2 i)²=9+12 i -4=5+12 i.

V. = = =

= = = + i.

2) Вычислим и числитель, и знаменатель отдельно, применяя формулу Муавра. Для этого каждое из чисел + i и 1- i приведём к тригонометрической форме. Имеем

+ i =2(cos + i sin ),

Так как

| + i |= и

то есть . Поэтому, по формуле Муавра,

( + i)¹⁰=(2(cos + i sin ))¹⁰=2¹⁰(cos + i sin )=

=2¹⁰(cos + i sin )=2¹⁰( - i)=2⁹(1- i).

Аналогично

1- i = (cos + i sin ),

так как

|1- i |= и

то есть . Тогда

(1- i)⁷= (cos + i sin = (cos + i sin =

= (cos - i sin = + = × (1+ i)=2³(1+ i).

Поэтому

= =2⁶× =2⁶× =2⁵×(1- i)(1- i)=

=2⁵×((1- )+(-1- ) i)=2⁵×((1- )-(1+ ) i)=32(1- )-32(1+ ) i.

3) Всего комплексных чисел 6-й степени из комплексного числа существует в точности 6. Их ищем в виде

w _k = (cos + i sin ), k =0, 1, 2, 3, 4, 5.

Здесь r = - модуль числа 1+ i, j = - аргумент этого числа, который находим из соотношения

Поэтому j = . Таким образом, корни -

w _k = (cos + i sin )= (cos + i sin ), k =0, 1, 2, 3, 4, 5.

Найдём их при каждом значении k:

w ₀= (cos + i sin ), w ₁= (cos + i sin ), w ₂= (cos + i sin ),

w ₃= (cos + i sin ), w ₄= (cos + i sin ), w ₂= (cos + i sin ).

(Значения косинусов и синусов - не табличные. Поэтому их значения не вычисляем, и корни не приводим к алгебраической форме).

Ответ: 1) + i; 2) 32(1- )-32(1+ ) i;

2) w ₀= (cos + i sin ), w ₁= (cos + i sin ),

w ₂= (cos + i sin ), w ₃= (cos + i sin ),

w ₄= (cos + i sin ), w ₂= (cos + i sin ).

Задание 2. Описать геометрическое место комплексных чисел, удовлетворяющих неравенствам:

1) | z +1+2 i |³1; 2) | z -2+ i |<3.

Решение. 1) Пусть z = x + yi, где x =Re z и y =Im z. Тогда z +1+2 i =(x +1)+(y +2) i и | z +1+2 i |= . Поэтому | z +1+2 i |³1 Û ³1 Û ³1. Получили множество точек, лежащих вне круга с центром (-1; -2) и радиусом R =1.

2) Аналогично предыдущему, если z = x + yi, то | z -2+ i |= и | z -2+ i |<3 Û <3 Û <9 ¾ внутренность круга с центром (2; -1) радиуса 3.

Задание 3. Разделить многочлен f (x) = x ⁵-2 x ³+ x ²+4 x +1 на многочлен g (x) = x ³-3 x ²+ x -2 с остатком. В ответе указать представление деления с остатком, (неполное) частное и остаток от деления.

Решение. Делим многочлен на многочлен с остатком:

_x ^5 -2 x ^3+ x ^2+4 x +1	x ^3-3 x ^2+ x -2
x ^5-3 x ^4+ x ^3-2 x ^2		x ^2+3 x +6
	_ 3 x ^4-3 x ^3+3 x ^2+4 x +1
	3 x ^4-9 x ^3+3 x ^2-6 x
	_ 6 x ^3 +10 x +1
	6 x ^3-18 x ^2+6 x -12
	18 x ^2+4 x +13

Таким образом, x ²+3 x +6 - неполное частное, 18 x ²+4 x +13 - остаток от деления x ⁵-2 x ³+ x ²+4 x +1 на x ³-3 x ²+ x -2.

Ответ: x ⁵-2 x ³+ x ²+4 x +1=(x ³-3 x ²+ x -2)(x ²+3 x +6)+(18 x ²+4 x +13), где x ²+3 x +6 - неполное частное, 18 x ²+4 x +13 - остаток

Задание 4. Представить дробь в виде суммы простейших в общем виде и выписать систему линейных уравнений для определения коэффициентов:

.

Решение. По правилу разложения дроби в сумму простейших имеем

= + + + + +

(так как дискриминант квадратного трёхчлена х ²+2 х +2 меньше нуля (D =2²-4×1×2=-4<0), то дроби и - простейшие).

Приведём полученную сумму к общему знаменателю:

.

Отдельно приведём числитель к стандартному виду. Так как

(х ²+2 х +2)²= х ⁴+4 х ²+4+4 х ³+4 х ²+8 х = х ⁴+4 х ³+8 х ²+8 х +4

то имеем

x (x -2)²(х ²+2 х +2)²=(х ³-4 х ²+4 х)(х ⁴+4 х ³+8 х ²+8 х +4)=

= х ⁷+(4-4) х ⁶+(8-16+4) х ⁵+(8-32+16) х ⁴+(4-32+32) х ³+(-16+32) х ²+16 х =

= х ⁷-4 х ⁵-8 х ⁴+4 х ³+16 х ²+16 х,

(x -2)²(х ²+2 х +2)²= х ⁶-4 х ⁴-8 х ³+4 х ²+16 х +16

(это произведение отличается от предыдущего только на множитель х)

x ²(x -2)(х ²+2 х +2)²=(х ³-2 х ²)(х ⁴+4 х ³+8 х ²+8 х +4)=

= х ⁷+(4-2) х ⁶+(8-8) х ⁵+(8-16) х ⁴+(4-16) х ³-8 х ²=

= х ⁷+2 х ⁶-8 х ⁴-12 х ³-8 х ²,

x ²(х ²+2 х +2)²= х ⁶+4 х ⁵+8 х ⁴+8 х ³+4 х ²,

(Ex + F) x ²(x -2)²(х ²+2 х +2)=(Ex + F)(х ⁶-2 х ⁵-2 х ⁴+8 х ²)=

= Eх ⁷+(-2 E + F) х ⁶-(2 E +2 F) х ⁵-2 Fх ⁴+8 Eх ³,

(Gx + H) x ²(x -2)²=(Gx + H)(х ⁴-4 х ³+4 х ²)= Gх ⁵+(-4 G + H) х ⁴+(4 G -4 H) х ³.

Отсюда

Ax (x -2)²(х ²+2 х +2)²+ B (x -2)²(х ²+2 х +2)²+ Cx ²(x -2)(х ²+2 х +2)²+

+ Dx ²(х ²+2 х +2)²+(Ex + F) x ²(x -2)²(х ²+2 х +2)+(Gx + H) x ²(x -2)²=

= Aх ⁷-4 Aх ⁵-8 Aх ⁴+4 Aх ³+16 Aх ²+16 Aх + Bх ⁶-4 Bх ⁴-8 Bх ³+4 Bх ²+16 Bх +16 B +

+ Cх ⁷+2 Cх ⁶-8 Cх ⁴-12 Cх ³-8 Cх ²+ Dх ⁶+4 Dх ⁵+8 Dх ⁴+8 Dх ³+4 Dх ²+

+ Eх ⁷+(-2 E + F) х ⁶-(2 E +2 F) х ⁵-2 Fх ⁴+8 Eх ³+ Gх ⁵+(-4 G + H) х ⁴+(4 G -4 H) х ³=

=(A + C + E) х ⁷+(B +2 C + D -2 E + F) x ⁶+(-4 A +4 D -2 E -2 F + G) х ⁵+

+(-8 A -4 B -8 C +8 D -2 F -4 G + H) х ⁴+(4 A -8 B -12 C +8 D +8 E +4 G -4 H) х ³+

+(16 A +4 B -8 C +4 D) х ²+(16 A +16 B) х +16 B.

Поэтому

=

Дроби с одинаковыми знаменателями равны тогда и только тогда, когда совпадают их числители:

x ³+2º(A + C + E) х ⁷+(B +2 C + D -2 E + F) x ⁶+(-4 A +4 D -2 E -2 F + G) х ⁵+

+(-8 A -4 B -8 C +8 D -2 F -4 G + H) х ⁴+(4 A -8 B -12 C +8 D +8 E +4 G -4 H) х ³+

+(16 A +4 B -8 C +4 D) х ²+(16 A +16 B) х +16 B.

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Поэтому, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х, приходим к системе

(*)

решая которую (например, методом Гаусса) определяем коэффициенты A, B, C, D, E, F, G, H.

Ответ: =

= + + + + + ;

требуемая система (*) приведена выше.

Задание 5. Представить дробь в виде суммы многочлена и простейших дробей:

.

Решение. Степень знаменателя 5 меньше степени числителя (шести). Поэтому дробь является неправильной, и её можно представить в виде суммы многочлена и простейших дробей. Для этого сначала разделим числитель на знаменатель (с остатком), предварительно произведя умножения в знаменателе:

(x -3)³(х ²+2 х +3)=(х ³-9 х ²+27 х -27)(х ²+2 х +3)=

= х ⁵+(2-9) х ⁴+(3-18+27) х ³+(-27+54-27) х ²+(81-54) х -81=

= х ⁵-7 х ⁴+12 х ³+27 х -81,

_ 2 x ^6-11 x ^5+ 3 x ^4+36 x ^3+54 x ^2- 80 x -245	x ^5-7 x ^4+12 x ^3+27 x -81
2 x ^6-14 x ^5+24 x ^4+ +54 x ^2-162 x		2 x +3
	_ 3 x ^5-21 x ^4+36 x ^3 +82 x -245
	3 x ^5-21 x ^4+36 x ^3 +81 x -243
	x -2

Таким образом,

2 x ⁶-11 x ⁵+3 x ⁴+36 x ³+54 x ²-80 x -245=(2 x +3)(x ⁵-7 x ⁴+12 x ³+27 x -81)+(x -2),

откуда

=

= =

= =(2 x +3)+ =

=(2 x +3)+ ,

то есть =(2 x +3)+ , и исходная дробь представлена в виде суммы многочлена и правильной дроби. Осталось представить слагаемое-дробь в виде суммы простейших.

По правилу разложения дроби в сумму простейших имеем

= + + + (*)

(так как дискриминант квадратного трёхчлена х ²+2 х +3 меньше нуля (D =2²-4×1×3=-8<0), то дробь - простейшая).

Приведём полученную сумму к общему знаменателю:

.

Отдельно приведём числитель к стандартному виду.

A (x -3)²(х ²+2 х +3)+ B (x -3)(х ²+2 х +3)+ C (х ²+2 х +3)+(Dx + E)(x -3)³=

= A (х ⁴- х ³+27)+ B (х ³- х ²-3 х -9)+ C (х ²+2 х +3)+(Dx + E)(x ³-9 х ²27 х -27)=

=(A + D) х ⁴+(- A + B -9 D - E) х ³+(- B + C +27 D -9 E) х ²+

+(-3 B +2 C -27 D +27 E) х +(27 A -9 B +3 C -27 D).

Поэтому

=

Дроби с одинаковыми знаменателями равны тогда и только тогда, когда совпадают их числители:

x -2º(A + D) х ⁴+(- A + B -9 D - E) х ³+(- B + C +27 D -9 E) х ²+

+(-3 B +2 C -27 D +27 E) х +(27 A -9 B +3 C -27 D).

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Поэтому, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х, приходим к системе

Решая эту систему определяем коэффициенты A, B, C, D, E. Сначала применим метод Гаусса для исключения неизвестных A, B, C из последних двух уравнений:

Û Û

Û Û

Далее, рассматривая последние два уравнения как систему от двух неизвестных D и E, находим их по правилу Крамера:

D= =(-89)×(-6)-(-156)×44=7398,

D₁= =1×(-6)-(-2)×44=82,

D₂= =(-89)×(-2)-(-156)×1=334,

D = = = , E = = = .

Теперь из третьего уравнения системы находим С:

C =-19 D +10 E =-19× +10× = .

Из второго находим B:

B =8 D + E =8× + = .

Наконец, из первого находим A:

A =- D =- .

Таким образом, A =- , B = , C = , D = , E = , подставляя которые в (*), получаем разложение дроби в сумму простейших:

= + + + ,

а вместе с ним и искомое представление дроби в виде суммы многочлена и простейших.

Ответ: =

=(2 x +3) + + + .

Дата добавления: 2015-08-28