Определение 1. Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение , где числа u1, u2, u3, , un, , называемые членами ряда, образуют числовую последовательность. Натуральный параметр n в

РЯДЫ

Определение 1. Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение , где числа u ₁, u ₂, u ₃, …, u_n, …, называемые членами ряда, образуют числовую последовательность. Натуральный параметр n в знаке суммы определяет номер члена последовательности. Знак обозначает сумму значений u_n, вверху и внизу этого знака указаны пределы, в которых изменяется n (от 1 до + ¥).

Определение 2. (частичная сумма) Сумму первых n членов числового ряда обозначают через S_n и называют n -ой частичной суммой ряда: S_n = u ₁ + u ₂ + u ₃ + … + u_n.

Определение 3. (определение сходимости) Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм S_n этого ряда, то есть если . (S - сумма ряда). Ряд называется расходящимся, если последовательность частичных сумм S_n этого ряда расходится, то есть если не существует (в частности бесконечен).

Теорема 1. (Необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, .

Теорема 2 (Признаки сравнения рядов). Пусть даны два ряда

, (1)

, (2)

с неотрицательными членами, тогда

1) Если u_n ≤ v_n (n = 1, 2, …), то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует, что ряд (2) расходится.

2) Если , где A – некоторое число, то ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.

Замечание 1. Ряд вида называется обобщенным гармоническим рядом, причем если р > 1, то ряд сходится, если ряд расходится.

Определение 4 (признак Даламбера) Если существует предел , то ряд, составленный из положительных членов сходится при L < 1 и расходится при L > 1. Если , то вопрос о поведении ряда остается открытым.

Определение 5 (Радикальный признак Коши). Если существует предел , то ряд, составленный из положительных членов сходится при L < 1 и расходится при L > 1.При L = 1 признак Коши не позволяет ответить на вопрос о сходимости ряда.

Определение 6 (Интегральный признак Коши) Пусть члены ряда положительны и убывают и пусть f (x) – такая непрерывная убывающая функция, что f (n) = u_n. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Если несобственный интеграл сходится, то сходится и ряд .

2) Если несобственный интеграл расходится, то расходится и ряд .

Определение 7. Знакопеременным рядом называется ряд, у которого члены разного знака. Знакочередующимся рядом называется ряд, у которого все его соседние члены имеют разные знаки.

Теорема 3 (Признак Лейбница) Знакочередующийся ряд , u_n > 0 – сходится, если

1) предел общего члена по абсолютному значению равен нулю: ,

2) последовательность членов ряда по абсолютному значению убывающая: u ₁ > u ₂ > u ₃ > u ₄ > …При этом сумма ряда положительна и не превосходит первого члена.

Определение 8. (Абсолютно сходящийся ряд) Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из абсолютных значений его членов.

Определение 9. (Условно сходящийся ряд) Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если этот ряд сходится, в то время как соответствующий ему ряд из абсолютных величин расходится.

Определение 10. (Функциональный ряд)Ряд , члены которого являются функциями от переменной x, называется функциональным.

Определение 11. (Область сходимости функционального ряда) Совокупность всех значений переменной x, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Определение 12. (Степенной ряд)Степенным рядом называется функциональный ряд вида

,

где постоянные числа a ₀, a ₁, a ₂, …, a_n, … называются коэффициентами ряда, a – число.

Определение 13. (Интервал сходимости степенного ряда)

Интервалом сходимости степенного ряда

будет интервал (a – R, a + R), такой что для всякой точки х, лежащей внутри этого интервала, ряд сходится и притом абсолютно, а для точек х, лежащей вне этого интервала, ряд расходится. Неотрицательное число R называют радиусом сходимости степенного ряда.

Замечание 2. Радиус сходимости ряда может быть найден по формулам: или

Определение 14. Пусть функция f (х) определена в некоторой окрестности точки х = а и имеет в этой точке производные всех порядков. Тогда ряд

называется рядом Тейлора функции f (х) в точке х = а.

Определение 15. Рядом Маклорена называется частный случай ряда Тейлора при х = 0:

Определение 16. Коэффициенты, определенные по формулам

, , ,

называются коэффициентами Фурье функции f (x), а тригонометрический ряд с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции f (x).

Теорема 4. (Теорема Дирихле) Если периодическая функция f (x) с периодом 2 π – кусочно-непрерывная и ограниченная на отрезке [ – π, π ], то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда S (x) равна значению функции f (x) в точках непрерывности функции. В точках разрыва функции f (x) сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции f (x) справа и слева, то есть если x = c – точка разрыва функции f (x), то

.

Замечание 3. Если периодическая функция f (x) с периодом 2 l удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, то эта функция может быть разложена в ряд Фурье

с коэффициентами, определяемыми соотношениями

Дата добавления: 2015-08-28