Тело, находящееся в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией, за счет которой совершается работа силами поля.

Потенциал

Тело, находящееся в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией, за счет которой совершается работа силами поля.

Следовательно, работа (9.1) равна разности значений потенциальной энергии, которыми обладал заряд q ' в точках 1 и 2 поля заряда q:

Отсюда для потенциальной энергии заряда q ' в поле заряда q получаем

Значение const выбирается таким, чтобы при удалении заряда на бесконечность (r = ¥) потенциальная энергия обращалась в нуль. При этом условии получается, что

()

Пусть заряд q ' – пробный заряд. Его потенциальная энергия зависит не только от величины q ', но и от величин q и r, определяющих поле.

Разные пробные заряды и т. д. будут обладать в одной и той же точке поля различной энергией и т. д. Однако, для данного источника поля q отношение будет для всех зарядов одинаковым. Величина

A0.2)

называется потенциалом поля в данной точке.

Таким образом, потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд. Подставляя в A0.2) значение W _p, получаем для потенциала поля точечного заряда:

Пусть поле создается системой точечных зарядов q ₁, q ₂... Расстояния от каждого из зарядов до данной точки поля r ₁, r ₂... Работа, совершаемая силами этого поля над зарядом q ’ будет равна сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов:

Но согласно (9.1) каждая из работ А _i равна

А

где r _i1 – расстояние от заряда q _i до начального положения заряда q ', r _i2 – расстояние от q _i до конечного положения заряда q '. Следовательно,

Сопоставляя это выражение с соотношением

получаем.для потенциальной энергии заряда q ' в поле системы зарядов выражение

откуда

Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

Напряженности поля складываются при наложении полей векторно, потенциалы –алгебраически. Поэтому вычисление потенциалов обычно гораздо проще, чем вычисление напряженностей электрического поля.

Из A0.2) определяется потенциальная энергия заряда q, находящегося в точке поля с потенциалом j

W _p = qj. A0.5)

Работа сил поля над зарядом q может быть выражена через разность потенциалов:

A0.6)

Таким образом, работа, совершаемая над зарядом силами поля, равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках.

Если заряд q из точки с потенциалом j удаляется на бесконечность (где по условию потенциал равен нулю), работа сил поля будет равна

(Ю.7)

Отсюда: потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки на бесконечность. Такую же работу необходимо совершить против сил электрического поля, чтобы переместить единичный положительный заряд из бесконечности в данную точку поля.

За единицу потенциала называемую вольтом (сокращенное обозначение– B), принимается потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую из бесконечности положительного заряда 1Кл необходимо совершить работу, равную 1 Дж:

1 дж = 1 к×1 в, отсюда

A0.8)

В физике часто пользуются единицей работы и энергии, называемой электронвольтом (эв). Под электронвольтом подразумевается работа, совершаемая силами поля над зарядом, равным заряду электрона (т. е. над элементарным зарядом е) при прохождении им разности потенциалов в 1 в:

1 эв=1,6 10^-19кл 1 в = 1,6 10^-19дж.

Используются также кратные электронвольту единицы:

1 кэв (килоэлектронвольт) = 10³ эв,

1 Мэв (мегаэлектронвольт) = 10⁶ эв,

1 Гэв (гигаэлектронвольт) = 10⁹ эв.

Отметим, что величина kT, характеризующая среднюю энергию теплового движения молекул, равна при комнатной температуре

Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом.

Электрическое поле можно описать либо с помощью векторной величины Е, либо с помощью скалярной величины j. Между этими величинами должна существовать связь. Так как Е пропорциональна силе, действующей на заряд, а j – потенциальной энергии заряда, понятно,.что эта связь должна быть аналогична связи между потенциальной энергией и силой. Работа сил поля над зарядом q на отрезке пути d l представима, с одной стороны, как qE_l d l, с другой стороны – как убыль потенциальной энергии заряда . Тогда

откуда

ИЛ)

где через l обозначено произвольно выбранное направление в пространстве. В частности,

Щ-4

откуда

Выражение в скобках называется градиентом скаляра j. Обозначается как grad j или с использованием оператора набла: Ñ j. Используя обозначение градиента, можно написать:

E = – grad j AL3)

Таким образом, напряженность электрического поля равна градиенту потенциала, взятому с обратным знаком. Градиент некоторой скалярной функции j (х, у, z) есть векторная величина, обладающая следующими свойствами.

Направление градиента совпадает с направлением n, в котором при смещении из данной точки функция j, возрастая по величине, изменяется с наибольшей скоростью. Величина производной по этому направлению дает модуль градиента. Частные производные - представляют собой проекции градиента на координатные оси х, у, z. Аналогично производная , взятая по произвольному направлению l, будет проекцией градиента на это направление. Проекция градиента на перпендикулярное к n направление t, очевидно, равна нулю: .

Рис. 20.

Проверим соотношение между напряженностью поля и потенциалом на примере поля точечного заряда. Потенциал этого поля выражается функцией [см. A0.3)]

Рассмотрим точку поля 1, положение которой определяется радиусом - вектором r (рис. 20 выполнен в предположении, что q положителен). При смещении из этой точки в разных направлениях на одинаковый по величине малый отрезок d l наибольшее положительное приращение j получается для направления от точки 1 к заряду q, если заряд положителен, и для направления от заряда q к точке 1, если заряд отрицателен. Следовательно, направление градиента n может быть представлено в виде

A1.4)

где знак «–» соответствует случаю положительного заряда, знак «+»– отрицательного. Проекция grad j на направление r равна

Ъ\

Знак «–» в этом выражении указывает на то, что grad j в случае положительного заряда имеет направление, противоположное r, а в случае отрицательного заряда – совпадающее с r. Модуль grad j, очевидно, равен модулю выражения (П.5). Поэтому, с учетом A1.4), получим:

Пользуясь A1.3), для напряженности поля точечного заряда известную формулу E.3).

Можно рассмотреть обратную задачу, т. е. по заданным значениям Е в каждой точке найти разность потенциалов между двумя произвольными точками поля. Учтем, что работа, совершаемая силами поля над зарядом q при перемещении его из точки 1 в точку 2, может быть вычислена как

Та же работа может быть представлена в виде

A ₁₂ = q (j ₁ - j ₂)

Отсюда получаем

A1.7)

Интеграл в правой части можно брать по любой линии, соединяющей точки 1 и 2, так как работа сил поля не зависит от пути. Для обхода по замкнутому контуру j ₁ = j ₂ и формула A1.7) переходит в соотношение (9.2).

Используем формулу A1.7) для вычисления разности потенциалов между двумя бесконечными разноименно заряженными плоскостями. Напряженность поля между

Рис. 21.

Рис. 22.

плоскостями равна s/e₀ и направлена перпендикулярно к плоскостям. Соединим точки 1 и 2, взятые произвольным образом на разных плоскостях, линией 1 – 1'– 2, как показано на рис. 22.

Согласно формуле A1.7)

На участке 1 – 1' E_l = 0; поэтому первое слагаемое в правой части равно нулю (отсюда следует, что потенциал точек 1 и 1' один и тот же). На участке 1' – 2 E_l = Е = const, следовательно,

где d – расстояние между плоскостями. Таким образом,

j ₁ - j ₂ = Ed A1.8)

Очевидно, что этот результат справедлив для разности потенциалов между двумя точками, взятыми в однородном поле напряженности Е, причем под d следует понимать в этом случае проекцию расстояния 12 между точками 1 и 2 на направление вектора Е (рис. 22).

Дата добавления: 2015-08-28