Вихідні дані: a = b = c = d = 2.2м; q = 20кН/м; F = 5кН; M = 5 кН·м.

Вихідні дані: a = b = c = d = 2.2м; q = 20кН/м; F = 5кН; M = 5 кН·м.

Розв'язок.

Складемо розрахункову схему балки у вигляді її вісі з зображенням діючих на неї навантажень. Відкинемо опорні реакції, а їх вплив замінимо дією відповідних опорних реакцій.

1.1 Складемо рівняння рівноваги статики, вирішивши які визначимо величину опорних реакцій.

;

;

;

;

;

;

;

;

.

;

.

Виконаємо перевірку отриманих величин опорних реакцій.

;

;

40.43 - 5 - 20·2.2+8.57 = 0;

- 49 + 49 = 0;

0=0.

Отже величини та напрямки опорних реакцій визначено вірно.

1.2. Розбиваємо балку на ділянки. На кожній ділянці, за допомогою методу поперечних перерізів, визначимо величину внутрішніх зусиль.

I. .

;

;

;

Оскільки за довжиною ділянки поперечна сила змінила знак з додатної на від’ємну, то потрібно знайти абсцису в якій поперечна сила дорівнює нулю і в якій відповідно виникає екстремальне значення згинального моменту.

;

;

;

.

; ;

;

;

ІІ. .

; ;

;

;

; ;

;

;

.

III. .

; ;

;

.

; ;

;

;

.

IV. .

; ;

;

.

;

.

2. Виходячи з умови міцності на згин підберемо двотавровий переріз балки.

.

Знаючи мінімально необхідний момент опору перерізу, за таблицею сортаменту, підбираємо потрібний номер двотавра.

№22. Для якого .

Для отриманого номера двотавра, додатково, випишемо геометричні характеристики.

.

3. Перевіримо підібраний переріз на дію поперечної сили.

.

Міцність перерізу на дію максимальної поперечної сили забезпечено.

4. З аналізу епюр поперечної сили та згинального моменту можна дійти висновку, що небезпечною точкою за довжиною балки є точка C, для якої

Перевіримо згадуваний переріз на сумісну дію нормальних та дотичних напружень. Визначимо напруження в характерних точках двотаврового перерізу.

З’ясуємо, як розподіляються нормальні σ_х та дотичні τ_у напруження за висотою поперечного перерізу.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Аналізуючи епюри нормальних та дотичних напружень визначаємо небезпечну точку в якій нормальні та дотичні напруження прямують до своїх максимальних значень одночасно. Такою точкою є точка 2', для якої – .

Для вказаної точки за третьою теорією міцності визначимо еквівалентне напруження та порівняємо його з допустимим.

.

Останній вираз свідчить про те, що міцність перерізу на сумісну дію нормальних та дотичних напружень, для небезпечної точки за висотою перерізу, забезпечена.

Визначимо величину горизонтальної складової дотичних напружень τ _х, тобто напружень, які виникають в полиці двотавру. Для цього використаємо формулу Журавського, як і для визначення напружень τ_у, а саме:

,

де S_х – статичний момент відрізаної частини перерізу відносно нейтральної осі Х. Для його визначення послідовно проводимо вертикальні перерізи в точках для яких розраховуємо напруження.

S_х1 = 0, оскільки вертикальний переріз проведений в точці 1 відсіче від основного перерізу площу А = 0. При цьому отримаємо:

Провівши переріз в точці 2^', отримаємо:

Напруження τ _х в стінці будуть дорівнювати нулю, оскільки провівши вертикальний переріз через стінку двотавра, отримаємо відсічену частину поперечного перерізу, симетричну відносно нейтральної осі х і тому статичний момент цієї частини, відносно осі х, буде дорівнювати нулю.

Порівняємо найбільше дотичне напруження, що діють в полиці двотавра з допустимим дотичним напруженням:

– умова виконується. Міцність перерізу на дію горизонтальної складової дотичних напружень забезпечено.

Визначимо величину головних напружень в небезпечному перерізі балки.

;

Порівняємо головні напруження, що діють в небезпечному перерізі з допустимим значенням нормального напруження:

– умова виконується. Міцність перерізу на дію головних напружень забезпечено.

Визначимо величину екстремальних дотичних напружень небезпечному перерізі балки.

;

Порівняємо екстремальні дотичні напруження, що діють в небезпечному перерізі з допустимим значенням дотичного напруження:

– умова виконується. Міцність перерізу на дію екстремальних дотичних напружень забезпечено.

Проведені перевірки на міцність свідчать про те, що міцність обраного перерізу забезпечена.

5. За допомогою методу початкових параметрів побудуємо епюри прогину та кута повороту.

;

.

У відповідності до умов закріплення балки визначимо початкові параметри.

.

;

;

;

.

Знаючи величину початкових параметрів запишемо остаточний вигляд рівняння для визначення прогинів (рівняння пружної лінії).

.

Візьмемо похідну по Х від рівняння пружної лінії та отримаємо вираз для обчислення кута повороту, а саме:

θ .

За допомогою двох останніх виразів є змога побудувати епюри прогину та кута повороту за довжиною балки. Для спрощення обчислень подальші розрахунки проводимо в табличній формі.

Х, м		1.1	2.2	3.3	4.4	5.5	6.6	7.7	8.8
ω		-131.8	-226.9	-274.2	-277.2	-241.7	-178.1	-94.6
θ	-126.9	-106.9	-64.6	-22.1		46.8	67.2	82.7	87.9

Тут , - приведені прогин та кут повороту, відповідно.

6. Проведемо перевірку на жорсткість.

;

-умоване виконується.

Виходячи з умови жорсткості підберемо новий номер двотавра.

.

За отриманим значенням моменту інерції та таблицею сортаменту визначаємо номер двотавра:

№30а, для якого отже міцність перерізу при розрахунку на жорсткість забезпечена.

Перевіряти підібраний переріз на міцність не потрібно, оскільки, якщо умовам міцності задовольняв двотавр №22, то двотавр №30а, також буде задовольняти цим умовам.

Правила побудови епюр M та Q:

1. На ділянках де відсутнє розподілене навантаження, епюри Q_yобмежені прямими, паралельними до бази(ділянки E-C, C-B на рис.1), а епюри М_x – похилими прямими(ділянки E-C, C-B на рис.1).

2. На ділянках, де до балки прикладене рівномірно-розподілене навантаження (q), епюра Q_yобмежується похилою прямою (ділянка A-E на рис.1), а епюра М_x – квадратичною параболою(ділянка A-E на рис.1).

3. В перерізах, де Q_y=0, дотична до епюри М_xпаралельна базі епюри (точка К на рис.1).

4. На ділянках де Q_y>0, момент М_xзростає, тобто зліва направо додатні ординати епюри М_x збільшуються (ділянка А-К на рис. 1), а від’ємні – зменшуються; де Q_y<0, момент М_x зменшується (ділянка К-В на рис.1).

5. В перерізах, де до балки прикладені зосереджені сили:

- на епюріQ_y будуть стрибки на значення прикладених сил в напрямі їх дії (точки А, С, В на рис.1);

- на епюрі М_xбудуть переломи (точка С на рис. 1).

6. В перерізах, де до балки прикладені зосереджені моменти, на епюрі М_xбудуть стрибки на значення цих моментів (точка D на рис.1); напрям стрибка залежить від напряму зовнішнього моменту.

7. Якщо у кінцевій шарнірній опорі або на кінці консолі балка не навантажена зовнішнім моментом, то в них М_x=0 (точки А, В на рис.1).

Правила побудови епюр θ та ω:

1. В перерізах, де М_х = 0, дотична до епюри θ повинна бути паралельною до горизонтальної осі (точки А, В – рис.1). Стрибку на епюрі моментів відповідає кутова точка на епюрі θ (точка D – рис.1).

2. Якщо згинальний момент дорівнює нулю на протязі будь-якої ділянки балки, то на цій ділянці епюра θ обмежується лінією паралельною горизонтальній осі, а епюра ω – похилою лінією (на рис.1 такі ділянки відсутні).

3. На ділянках, де діє сталий згинальний момент, епюра θ обмежується похилою лінією, а епюра ω – квадратичною параболою (на рис. 1 такі ділянки відсутні).

4. Якщо згинальний момент М > 0 (стискає верхні волокна балки), то угнутість параболи на епюрі ω буду обернена в бік додатних значень моменту, тобто до гори (ділянка А-В на рис.1), а при М < 0 – до низу. Угнутість на епюрі ω завжди обернена в той бік, з якого розташовані ординати епюри згинальних моментів(на рис. 1 такі ділянки відсутні).

5. Якщо Q> 0 на протязі деякої ділянки, то випуклість на епюрі θ буде спрямована до низу (ділянка А-К на рис. 1), а при Q< 0 випуклість буде спрямована до гори (ділянка К-В на рис.1). В перерізі де Q змінює знак, на епюрі θ отримаємо точку перегину (точка К на рис.1).

6. На ділянках, де в напрямку осі z прогин ω зростає, кут нахилу θ додатній (ділянка L-B на рис.1), а при зменшені ω кути нахилу θ від’ємні (ділянка A-L на рис. 1).

7. В перерізах, де θ = 0, дотична до епюри ω паралельна осі, тобто в цій точці ω досягає свого екстремального значення на розглядуваній ділянці (точка L на рис.1).

В перерізах, де на балці розташовані проміжні шарніри, на епюрі θ будуть стрибки. На епюрі ω в цих перерізах отримаємо кутові точки (на рис.1 такі ділянки відсутні).

Спрощений варіант пункту 4.

Перевіримо згадуваний переріз на сумісну дію нормальних та дотичних напружень. Визначимо напруження в характерних точках двотаврового перерізу.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Аналізуючи епюри нормальних та дотичних напружень визначаємо небезпечну точку в якій нормальні та дотичні напруження прямують до своїх максимальних значень одночасно. Такою точкою є точка 2', для якої – .

Для вказаної точки за третьою теорією міцності визначимо еквівалентне напруження та порівняємо його з допустимим.

.

Останній вираз свідчить про те, що і за висотою поперечного перерізу міцність забезпечена.

Дата добавления: 2015-08-28