|
14. Теорема об общем решении неоднородного линейного ур-ия порядка Рассмотрим неоднородное уравнение . Пусть – ФСР уравнения – любое частное решение неоднородного уравнения . Тогда общее решение уравнения представляется в виде . Пусть – произвольное решение уравнения . Имеем два решения: и , следовательно, – решение соответствующего однородного уравнения существуют постоянные , при которых , т.е. . Т.к. – произвольно, то все решения можно представить так: . 1. Общее решение неоднородного линейного уравнения представляется суммой частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения. 2. Общее решение неоднородного линейного уравнения можно получить, решив соответствующее однородное уравнение и подобрав каким-либо образом частное решение неоднородного уравнения.
| 15. Решения неоднородных линейных уравнений. Метод вариации произвольных переменных. Функция Коши. Если частное решение подобрать не удаётся, это уравнение можно решить методом вариации произвольных постоянных: Положим, что ФСР соответствующего однородного уравнения построена. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: . Варьируем произвольные постоянные: . Будем искать решение уравнения в виде : вычисляем производную , и требуем, чтобы . Вычисляем вторую производную: , и требуем, чтобы . …. Вычисляем -ю производную: , и требуем, чтобы . Вычисляем n -ю производную: Подставим теперь вычисленные производные в уравнение: . Т.к. , то . Соберём все полученные соотношения в систему: . В результате мы имеем систему алгебраических линейных уравнений относительно . Это неоднородная система с невырожденной матрицей, т.к. её определитель совпадает с (т.к. – ФСР), следовательно, система имеет единственное решение при любой функции . Пусть это решение представляется в виде . Тогда . Подставляя эти функции в формулу , получим: . Уточним вид функции . Решая систему по правилу Крамера, замечаем, что , т.е. определяется только . В результате имеем: , где . Функция называется функцией Коши. – частное решение неоднородного уравнения, но в то же время – решение соответствующего однородного уравнения, если её рассматривать как функцию x при фиксированном s. При этом её можно получить, решая задачу Коши для однородного уравнения с начальными условиями при .Если рассматривается уравнение , то в системе в последнем уравнении следует заменить на .
|
Дата добавления: 2015-08-28; просмотров: 37 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |