1 Уравнения первого порядка, разрешённые относительно производных. Их геометрическая интерпретация. 3 страница

25 Понятие устойчивости по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Точки покоя. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений порядка . Предполагается, что определена при и и что выполнены условия теоремы существования и единственности решения. Будем полагать, что система имеет решение определённое при . Решение называется устойчивым (по Ляпунову), если для при для любого решения , в начальный момент удовлетворяющего условию . Решение называется притягивающим при , если для любого решения . Решение называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и является притягивающим. Решение , которое не является устойчивым, будем называть неустойчивыми. Обычно исследование на устойчивость произвольного решения сводят к исследованию на устойчивость тривиального решения. В противном случае можно сделать замену в уравнении . Решению соответствует . Т.к. , то , где . Заметим, что . Исследуем на устойчивость в фазовом пространстве системы . Всякому постоянному решению отвечает точка. Такие точки мы будем называть точками покоя системы . Все предыдущие определения легко переносятся в фазовые пространства. В этом случае можно говорить об устойчивых точках покоя, асимптотически устойчивых точках покоя, неустойчивых точках покоя. Если надо исследовать при , то можно сделать замену

26.Простейшие типы точек покоя на плоскости Будем рассматривать систему в векторной форме: . Точки покоя этой системы можно найти, решая систему . Если , то эта система имеет единственное решение , иначе система имеет бесконечное множество решений. Ограничимся случаем . 1. Пусть и – собственные числа, и – соответствующие им собственные векторы. Общее решение системы представляется в виде . а) точка покоя асимптотически устойчива. Называется устойчивым узлом. б) . Фазовый портрет подобен предыдущему, но направление движения противоположно. Точка покоя неустойчива и называется неустойчивым узлом. в) (второй рисунок). Точка покоя является неустойчивой и называется седлом. 27. Случай комплексных корней хар. ур-ия 2. Пусть A имеет комплексные собственные числа: , и – соответствующие им собственные векторы. Тогда общее решение будет записываться в виде: . Удобнее записать его несколько иначе: (здесь – линейная комбинация и ). a) Точка покоя устойчива. Асимптотической устойчивости нет. Точка покоя называется центром. б) В первом случае точка покоя называется устойчивым фокусом. Она асимптотически устойчива. Во втором случае точка покоя называется неустойчивым фокусом. 28 Простейшие типы точек покоя на плоскости. (Случай кратных корней) 3. Матрица A имеет собственные значения , т.е. собственное значение является кратным. Тогда оно вещественное. а) Собственному значению l соответствует два линейно независимых вектора и . Общее решение: . Все фазовые траектории прямолинейны. При точка покоя асимптотически устойчива. Она называется устойчивым дикритическим узлом. При точка покоя неустойчива. Она называется неустойчивым дикритическим узлом. б) Собственному значению l соответствует один линейно независимый вектор . Общее решение: . Модно считать, что . Здесь при точка покоя асимптотически устойчива. Она называется устойчивым (вырожденным) узлом. При точка покоя неустойчива. Она называется неустойчивым (вырожденным) узлом. Эта картина получается из первого случая при . Отметим, что из условия следует, что матрица A не имеет нулевых собственных значений. Однако можно рассмотреть аналогичными методами и случай вырожденной матрицы A. Проведённый анализ позволяет утверждать следующее: 1. Если все собственные значения матрицы имеют отрицательную вещественную часть, то точка покоя асимптотически устойчива (устойчивые узлы и фокусы). 2. Если хотя бы одно собственное значение матрицы имеет отрицательную вещественную часть, то точка покоя неустойчива (неустойчивые узлы, сёдла). Во втором случае второе собственное значение может быть нулевым. В остальных случаях требуется дополнительное условие. Приведённые утверждения остаются справедливыми, если порядок системы равен n.

29Исследование на устойчивость по первому приближению Рассмотрим произвольную нелинейную систему . Предположим, что определена при . Пусть для этой системы выполнены условия теоремы существования и единственности и на . Последнее условие обеспечивает существование точки покоя . Далее будем полагать, что функция в окрестности точки допускает разложение , где имеет оценку: , где M и g – положительные постоянные. Сопоставим системе линейную систему . Эта система называется системой первого приближения, для первоначальной системы. Система первого приближения называется стационарной, если матрица A постоянна. Точка покоя системы является также точкой покоя и системы первого приближения. Будем говорить, что система допускает исследование точки покоя на устойчивость по первому приближению, если эта точка является одновременно устойчивой (неустойчивой), как для системы , так и для системы . В случае, когда система допускает исследование на устойчивость по первому приближению, это исследование можно провести для более удобной системы . Пусть допускает разложение , где имеет оценку: , где M и g – положительные постоянные. Пусть при этом система первого приближения стационарна. Тогда 1. (теорема об устойчивости): Если все собственные значения матрицы A имеют отрицательную вещественную часть, то исследование на устойчивость по первому приближению точки покоя для системы возможно, причём точка покоя асимптотически устойчива. 2. (теорема о неустойчивости): Если хотя бы одно собственное значение имеет положительную вещественную часть, то исследование на неустойчивость по первому приближению точки покоя для системы возможно, причём точка покоя неустойчива. Эти теоремы не охватывают все возможные случаи. Так, они не работают, если у матрицы A все собственные значения с неположительной вещественной частью и есть собственное значение с нулевой вещественной частью. Такой случай называется критическим. В критическом случае исследование на устойчивость по первому приближению невозможно. На неустойчивость либо неустойчивость точки покоя оказывают влияние только знаки вещественных частей собственных значений матрицы A, но не модули этих собственных значений. Отсюда следует, что для исследования на устойчивость достаточно установить знаки вещественных частей собственных значений, не решая векового уравнения. Для этого можно воспользоваться существующими критериями, например, критерием Гурвица.

30. Решение линейных уравнений с частными произ. Рассмотрим уравнение в предположении, что все коэффициенты определены в некоторой области D пространства , непрерывны и непрерывно дифференцируемы в D, причём в D. Введём вектор . Составим вектор и тогда уравнение примет вид: если – решение уравнения , то производная этого решения по направлению в каждой точке равна 0. задаёт векторное поле в области D. Векторные линии этого векторного поля являются фазовыми траекториями системы уравнений – первый интеграл системы . Мы установили: всякое решение уравнения является первым интегралом системы . Верно и обратное: всякий первый интеграл системы является решением уравнения , следовательно, чтобы описать всё множество решений этого уравнения достаточно описать множество первых интегралов системы . Система называется характеристической системой уравнения .Фазовые траектории этой системы называется характеристиками этого уравнения. Через любую точку области D проходит единственная характеристика (система автономна). Точек покоя эта система не имеет. В этом случае всякая точка области D является регулярной. Для того, чтобы описать все первые интегралы системы , необходимо получить полный набор функционально независимых первых интегралов . Отметим, что функционально независимы, если ранг матрицы . Для системы , состоящей из n уравнений, полный набор состоит из n функционалов вида . Если рассматриваются первые интегралы вида , то полный набор состоит из первого интеграла. В общем случае для наперёд заданной области D полный набор первых интегралов может и не существовать. Однако справедливо следующее утверждение: для любой нерегулярной точки найдется окрестность, в которой существует полный набор функционально независимых первых интегралов. Пусть D – такая окрестность, в котором существует полный набор первых интегралов. Следовательно, имеем первые интегралы , следовательно, для любого первого интеграла справедливо представление: , где F – некоторая функции, следовательно, любое решение уравнения представляется в виде . Эта формула задаёт общее решение уравнения при произвольной дифференцируемой функции F. Характеристическую систему удобно представлять в форме: .

31. Решение квазилинейных уравнений Рассмотрим уравнение в предположении, что и определены в области , непрерывны и непрерывно дифференцируемы в D, причём в D. Сопоставим этому уравнению вспомогательное линейное уравнение . Здесь . Это уравнение уже рассмотрено в предыдущем параграфе, следовательно, можно написать его общее решение. Оно получается в неявном виде: . Составим характеристическую систему для этого уравнения: . Пусть – функционально независимые первые интегралы этой системы. Тогда – общее решение уравнения. Пусть – решение уравнения и пусть уравнение определяет некоторую функцию в (пространстве x), причём . Тогда – решение первого уравнения. Приведённая теорема устанавливает связь между решениями уравнений и . Решения первого уравнения могут использоваться для неявного задания решений уравнения второго уравнения. Если – решение первого уравнения, то конечное уравнение определяет решение второго уравнения. Множество решений первого уравнения представляется функцией , следовательно, множество решений второго уравнения можно описать решениями уравнения , где F – произвольная функция. Следует иметь в виду, что функция F должна обеспечить возможность разрешения такого уравнения (см. теорему о неявной функции). На даже в этом случае мы не можем утверждать, что таким образом описываются все решения уравнения . Это уравнение может иметь т.н. специальные решения, не допускающие такого представления. Характеристическая система, записанная для вспомогательного уравнения называется характеристической системой исходного уравнения. Через каждую точку в области проходит единственная характеристика уравнения . В отличие от предыдущего параграфа, характеристики здесь являются линиями в пространстве переменных . Можно показать, что если через какую-либо точку интегральной поверхности проходит характеристика, то вся эта характеристика лежит на интегральной поверхности. Интегральная поверхность как бы «соткана» из характеристик.

32Решение задачи Коши для квазилинейных уравнений Рассмотрим уравнение , предполагая, что и определены в области , непрерывны и непрерывно дифференцируемы в D и в D. Можно осуществить выбор решения этого уравнения, подчинив его каким-либо дополнительным условиям. В простейшем случае такими условиями могут быть условия Коши. Рассмотрим постановку задачи Коши. Пусть в пространстве x задана гиперповерхность S: и пусть в точке этой гиперповерхности определена функция . Дополним уравнение условием: . Имеем задачу Коши. Решить её значит найти решение уравнения , которое в точке гиперповерхности S совпадает с заданной функцией . Нас интересует интегральная поверхность этого уравнения, содержащая гиперповерхность S относительно функции . Заметим, что в общем случае задача Коши может оказаться разрешимой однозначно, разрешимой, но не однозначно, или неразрешимой. Всё зависит от выбора гиперповерхности S и начальной функции . Следует иметь в виду, что при сколь угодно гладкой функции решение может и не существовать. Простейшим методом решения задачи Коши является использование общего решения уравнения с последующим удовлетворением начальных условий (если его удаётся построить). Дополнение: решение уравнений с помощью рядов. Рассмотрим уравнение в окрестности точки . Пусть коэффициенты и аналитичны в окрестности точки , причём . Тогда решения уравнения аналитичны в окрестности точки и могут быть построены в виде ряда . Аналитичность означает сходимость ряда Тейлора в окрестности точки . Для нахождения коэффициентов разложения решения этого уравнения степенной ряд формально подставляется в уравнение и собираются коэффициенты при одинаковых степенях. Получается некоторое рекуррентное соотношение, из которого можно найти коэффициенты. Пусть коэффициенты уравнения аналитичны в окрестности точки , причём , где имеет в точке нуль порядка (если ), имеет в точке нуль порядка (если ). Тогда это уравнение имеет по крайней мере одно решение, представляемое обобщённым степенным рядом , где s – любая постоянная. Рассмотрим для примера уравнение Бесселя n -го порядка: . Здесь . Можно искать решение в виде обобщённого ряда , следовательно, решения такого вида существуют при – функция Бесселя n -го порядка. Аналогично . При дробных n функции и линейно независимы, следовательно, они образуют ФСР: . При целых , следовательно, они линейно зависимы. В качестве второго линейного независимого решения выбираем функцию Неймана . Определим её при дробных – дробное. Функции и линейно независимы при , как целых, так и дробных, следовательно, они образуют ФСР и общее решение: .

Дата добавления: 2015-08-28