Определение числа независимых уравнений по методу контурных токов и узловых напряжений.

Составим ненаправленный граф цепи.

Рис 2. Ненаправленный граф цепи

Если в ненаправленном графе цепи (Рис 2) убрать перечеркнутые ветви, то мы получим дерево графа. По определению: дерево есть связный подграф, в котором сохраняются все узлы и нет ни одного замкнутого контура. Число отброшенных ветвей при переходе от графа цепи к дереву определяет число независимых уравнений по методу контурных токов (МКТ). Число ветвей дерева графа определяет число независимых уравнений по методу узловых потенциалов (МУП). Для этой задачи надо составить 3 уравнения по методу контурных токов и 2 – по методу узловых потенциалов.

. Метод контурных токов.

Решим задачу для эквивалентной схемы цепи рис.1, выбрав 3 независимых контура: 1контур– E1,R1,R2;

2 контур –R2,C1,C2; 3 контур – C2,L1,R3. Направление обхода контуров по часовой стрелке.

Рассчитаем элементы матрицы Z:

Z11 = R1+R2

Z12 =Z21 = -R2

Z13 = Z31 =0

Z22 = R2 -i*Xc1-i*Xc2

Z23 = Z32 = i*Xc2

Z33 = -i*Xc2 + i*XL1 +R3

Здесь все расчеты выполняются в командной области пакета MATLAB:

>> R2= 10

R2 =

>> C1= 0.002

C1 =

0.0020

>> C2= 0.002

C2 =

0.0020

>> L1=0.05

L1 =

0.0500

>> omega=100

omega =

>> Xc1=1/(omega*C1)

Xc1 =

>> Xc2=Xc1

Xc2 =

>> XL1=omega*L1

XL1 =

>> R1=R2

R1 =

>> Z11 = R1+R2

Z11 =

>> Z12 =-R2

Z12 =

-10

>> Z21 = -R2

Z21 =

-10

>> Z13 =0

Z13 =

>> Z31 =0

Z31 =

>> Z22 = R2 -i*Xc1-i*Xc2

Z22 =

10.0000 -10.0000i

>> Z23 = i*Xc2

Z23 =

0 + 5.0000i

>> Z32 = i*Xc2

Z32 =

0 + 5.0000i

>> R3=3

R3 =

>> Z33 = -i*Xc2 + i*XL1 +R3

Z33 =

>> Z =[Z11 Z12 Z13; Z21 Z22 Z23; Z31 Z32 Z33] % Ввод матрицы Z;

Z =

20.0000 -10.0000 0

-10.0000 10.0000 -10.0000i 0 + 5.0000i

0 0 + 5.0000i 3.0000

>> X = inv(Z) % Вычисление обратной матрицы Z^-1

X =

0.0620 + 0.0090i 0.0240 + 0.0180i 0.0300 - 0.0400i

0.0240 + 0.0180i 0.0480 + 0.0360i 0.0600 - 0.0800i

0.0300 - 0.0400i 0.0600 - 0.0800i 0.2000 - 0.1000i

>> E=[10 0 0] % Ввод матрицы ЭДС в выбранных контурах;

E =

10 0 0

B = E' % Вычисление транспонированной матрицы E^T;

B =

>> I=X*B % Решение системы линейных уравнений относительно контурных токов;

I =

0.6200 + 0.0900i

0.2400 + 0.1800i

0.3000 - 0.4000i

> UR3=R3*(0.3000 - 0.4000i)

UR3 =

0.9000 - 1.2000i

Получен тот же результат, что и методом эквивалентного генератора.

>> abs(UR3)

ans =

1.5000

>> 57*angle(UR3)

ans =

-52.8558

Используя оператор нахождения вещественной части от текущего комплекса можно сразу определить гармоническую функцию напряжения на нагрузке R3:

UR3(t)=Re{1.5*EXP(-i*52.8558⁰)*EXP(i*100*t)}=

=1.5cos(100t - 52.8558⁰).

Таким образом поставленная задача решена полностью.

Повторив этот пример, можно аналогичным образом решать другие подобные задачи.

Решим задачу методом узловых напряжений. Обозначим узлы: 0- общая точка ветвей-E1,R2,C1,R3; 1-общая точка ветвей -R1,R2,C1; 2- общая точка ветвей -C1,C2,L1;

Узел «0» будем считать общим. Его потенциал примем равным нулю. Напряжения во всех остальных узлах будем отсчитывать относительно этого узла. Преобразуем источник напряжения в эквивалентный источник тока, как это требует метод расчета:

J1= E1 /R1;

Получим эквивалентную схему:

Рис 3. Эквивалентная схема для расчета цепи методом узловых потенциалов.

Решим систему уравнений (1.12) в матричной форме, используя Matchad:

Получен тот же результат для напряжения на R3, который был получен другими способами.

Дата добавления: 2015-11-03