В линейных электрических цепях

Анализ электрических цепей в переходном режиме заключается в определении зависимостей токов и напряжений в цепи от времени, прошедшего от момента коммутации до момента наблюдения этих величин.

Все методы анализа переходных процессов можно условно разделить на прямые и суперпозиционные (рис.13.5).

Прямые методы – это методы, в которых внешнее воздействие рассматривается как единое воздействие, представляющее собой некоторую функцию времени.

К прямым методам относятся следующие:

- классический метод;

- метод переменных состояний (разновидность классического метода);

- операторный метод.

Рис. 13.5

Классическим методом называется метод расчета переходных процессов с использованием мгновенных значений напряжений и токов в ветвях цепи.

В классическом методе составляют по законам Кирхгофа систему дифференциальных уравнений для мгновенных напряжений и токов ветвей цепи, а затем преобразуют систему уравнений в одно неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка относительно искомой переходной функции, например, тока i(t).

Решение уравнения ищут в виде суммы частного его решений (для времени t=∞) и общего решения однородного уравнения, полученного из исходного путём приравнивания к нулю правой части.

Чтобы изменить число исходных дифференциальных уравнений, их формулируют для контурных токов или для узловых напряжений.

Классический метод является с физической точки зрения наиболее наглядным методом, однако используется для анализа относительно простых цепей при постоянном или гармоническом воздействиях.

Классическим методом обычно рассматриваются электрические цепи не выше второго порядка, так как применение этого метода к цепям более высокого порядка громоздко и нерационально.

В методе переменных состояния выбирают в качестве переменных энергетического состояния цепи токи индуктивных катушек i_Lk и напряжения на конденсаторах u_Ck и составляют по законам Кирхгофа n дифференциальных уравнений первого порядка, затем их преобразовывают, оставляя в левой части каждого уравнения первую производную соответствующей переменной (d (u_Ck)/dt) или d (i_Lk)/dt), а в правой функции выбранных переменных (u_Ck и i_Lk) и приложены к цепи воздействий e_k(t) и j_k(t).

Сформулированную таким образом систему дифференциальных уравнений первого порядка решают аналитически, выполняя разложение экспоненциальных матриц, но чаще при n>2 решают с помощью численного интегрирования, например, методом Рунге-Кутта 4-го порядка.

После замены в цепи ёмкостей идеальными источниками напряжения (с ЭДС e_k= u_Ck), а индуктивностей – идеальными источниками тока (с токами j_k= i_LR) токи и напряжения резистивных элементов всегда могут быть выражены через так называемые переменные состояния: токи i_LR и напряжение u_Ck.

Операторный метод расчета переходных процессов основан на использовании понятия об изображении функций времени. Путем прямого преобразования Лапласа переходят от действительных функций времени (оригиналов e(t), u(t), i(t)) к их операционным изображениям (E(p), U(p), I(p)), называемым функциями комплексного переменного (оператора) p = σ + jω. Составив по законам Кирхгофа систему алгебраических уравнений для изображений и решив её относительно изображения искомой переходной функции, определяют оригинал этой функции путём обратных преобразований Лапласа.

Таким образом, операторный метод расчета переходных процессов позволяет свести решения системы дифференциальных уравнений для оригиналов к решению системы алгебраических уравнений для их изображений, что в значительной степени упрощает расчетные процедуры и позволяет рассматривать более сложные цепи и воздействия.

Операторный метод, являясь методом чисто алгебраическим, по сравнению с классическим методом, более прост и универсален, что обеспечивает его исключительно широкое применение в различных отраслях электротехники, радиотехники и электроавтоматики. Однако, в отличие от классического метода, физически прозрачного, в операторном методе решение уравнений во многом формализовано.

В основе суперпозиционных методов лежит принцип суперпозиции (наложения). Принцип суперпозиции применим только к линейным цепям. Во всех суперпозиционных методах входной сигнал представляется суммой стандартных элементарных сигналов:

.

Затем рассматривается воздействие на цепь каждого слагаемого этой суммы в отдельности. Выходной сигнал определяется суммированием откликов цепи на каждый элементарный сигнал в отдельности

.

А так как элементарные сигналы стандартны, то отклики цепи на них легко определяются. Затруднение может представлять лишь суммирование откликов.

Различаются суперпозиционные методы видом стандартных элементарных сигналов. К суперпозиционным методам относится метод интеграла Дюамеля (метод наложения) и спектральный метод.

Метод интеграла Дюамеля основан на представлении входного сигнала в виде суммы элементарных воздействий типа единичной функции 1(t) или единичного импульса δ(t), а также использовании формулы интеграла Дюамеля, отражающего принцип непрерывности электрического тока. При этом в качестве характеристики цепи используется соответственно реакция цепи (отклик) на воздействие единичной функции или единичного импульса – переходная характеристика h(t) или импульснаяхарактеристика g(t) - временные характеристики цепи. После аппроксимации входного сигнала прямоугольниками с шагом по времени τ искомую реакцию (входной сигнал) определяют интегрированием по переменной τ произведения входной функции u (t-u) и импульсной функции цепи g(t).

Метод интеграла Дюамеля применяется для анализа переходных процессов в цепях при воздействии на них сигналов сложной формы, например, при наличии скачков напряжения.

Спектральный (частотный) метод анализа переходных процессов в электрических цепях основан на использовании понятия о спектрах сигналов и частотных свойствах цепей. При этом входной сигнал представляется в виде суммы гармонических составляющих спектра, а характеристикой цепи, соответствующей её реакции (отклику) на единичное гармоническое колебание, является комплексный коэффициент передачи K (jω)- частотная характеристика цепи.

Найдя частотный спектр входного сигнала U₁(jω) по интегралу Фурье и умножив его на частотную характеристику цепи K (jω), получают частотный спектр выходного сигнала U₂(jω). Искомую временную функцию определяют путем обратного преобразования Фурье, но практически её находят из Таблиц изображений функций по Лапласу, заменив оператор Фурье jω на p в выходном сигнале U₂(jω).

Спектральный метод применяется для анализа переходных процессов в цепях при воздействии на них сигналов сложной формы и благодаря своей простоте и универсальности широко используется в радиотехнике, вычислительной и импульсной технике, электротехнике, автоматике и в технике связи.

Содержание Классического метода анализа

Дата добавления: 2015-11-03