Метод комплексных амплитуд

В.П. Литвиненко

ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ

ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Учебное пособие

Воронеж 2011

ГОУ ВПО «Воронежский государственный

технический университет»

В.П. Литвиненко

ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ

ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Утверждено Редакционно-издательским советом

университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2011

УДК 621.372

Литвиненко В.П. Линейные цепи при гармонических воздействиях: учеб. пособие / Воронеж: ГОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2011. 114 с.

Учебное пособие содержит необходимый теоретический материал и описание методов расчета линейных электрических цепей при гармонических воздействиях, предназначенные для выполнения курсовых работ (проектов) с индивидуальными заданиями. Приведены подробные примеры расчетов, позволяющие студентам самостоятельно выполнять задания. Описаны методы и технические возможности проведения необходимых экспериментальных исследований.

Издание соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 210300 «Радиотехника» специальности 210302 «Радиотехника», дисциплине «Основы теории цепей», направлению 200400 «Биомедицинская техника» специальности 200401 «Биотехнические и медицинские аппараты и системы», дисциплине "Общая электротехника" и направлению 230100 «Информационная и вычислительная техника» специальности 230104 «Системы автоматизированного проектирования», дисциплине «Электротехника и электроника». Предназначено студентам очной формы обучения.

Табл. 7. Ил. 67. Библиогр.: 6 назв.

Научный редактор канд. техн. наук, доцент Б.В. Матвеев.

Рецензенты: кафедра телекоммуникационных систем

Воронежского института МВД России

(и.о. начальника кафедры д-р техн. наук,

проф. подполковник милиции О.И. Бокова);

канд. техн. наук, доц., полковник милиции

А.А. Зибров.

Ó Литвиненко В.П., 2011

Ó Оформление. ГОУВПО «Воронежский

государственный технический универ-

ситет», 2011

ВВЕДЕНИЕ

Цель курсовой работы состоит в изучении стационарных гармонических процессов в линейных цепях и частотных характеристик четырехполюсников, в освоении методов расчета и проектирования электрических цепей и современных средств вычислительной и экспериментальной техники.

В курсовой работе необходимо рассчитать гармонические токи и напряжения в заданной линейной цепи, построить векторную диаграмму, определить частотные характеристики четырехполюсника. Предусматривается экспериментальная проверка результатов. Численные расчеты проводятся на ЭВМ с использованием современных вычислительных и моделирующих программных продуктов, а также языков программирования высокого уровня.

Отдельной частью курсовой работы (проекта) является исследовательское задание в области теории цепей, электроники или программирования, которое выбирается студентом самостоятельно в соответствии с индивидуальными интересами. В пособии приведены примеры подобных заданий, даны рекомендации по их выполнению.

Учебное пособие ориентировано на студентов, самостоятельно выполняющих курсовую работу в первом семестре изучаемой дисциплины, когда ими еще не прослушан полный курс лекций, и не проведены необходимые практические и лабораторные занятия.

МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

1.1. Гармонический сигнал

Гармонический сигнал записывают в виде

, (1.1)

где - амплитуда сигнала (индекс от слова «максимум»), - круговая частота, а - начальная фаза. Временная диаграмма гармонического сигнала показана на рис. 1.1.

Рис. 1.1

Амплитуда гармонического сигнала – это его максимальное значение, она измеряется в единицах сигнала (вольтах для напряжения и амперах для тока).

Период сигнала (рис. 1.1) определяет циклическую частоту его повторения,

, (1.2)

измеряемую в герцах (Гц). Ее физический смысл – число периодов колебаний в секунду.

Аргумент косинуса в (1.1) вида

(1.3)

называют полной фазой колебания, она пропорциональна текущему времени и измеряется в радианах или градусах.

Круговая частота равна

(1.4)

и представляет собой число радиан, на которое изменяется полная фаза колебания в единицу времени (1 с).

При полная фаза равна , поэтому параметр называют начальной фазой гармонического сигнала. Она измеряется в радианах или градусах. Так как период функции равен или 360⁰, то начальная фаза оказывается многозначной величиной. Например, значения начальной фазы 30⁰ и (30⁰+360⁰)=390⁰, а также (30⁰-360⁰)=-330⁰ оказываются эквивалентными. Для устранения неоднозначности договариваются, что значения начальной фазы должны находиться, например, в интервале от 0 до , или от до (аналогичные границы могут быть заданы в градусах).

Начальная фаза связана со смещением гармонического сигнала во времени на величину относительно функции , как показано на рис. 1.1. Функция смещена влево относительно , а - вправо. Положительные значения отсчитываются в сторону увеличения , а отрицательные – наоборот.

Из (1.1) можно записать

, (1.5)

где смещение во времени равно

. (1.6)

Тогда для начальной фазы получим

. (1.7)

Как видно, начальная фаза определяется временным сдвигом гармонического сигнала относительно функции . При сигнал смещается вправо по оси времени, при этом его начальная фаза , а если , то временная диаграмма смещается влево по оси времени, а . Величина начальной фазы зависит от начала отсчета времени (положения точки ). При смещении начала отсчета времени изменяется и начальная фаза.

Применительно к двум гармоническим сигналам и с разными начальными фазами и вводится в рассмотрение сдвиг фаз между первым и вторым сигналами,

. (1.8)

На рис. 1.2 показаны два гармонических сигнала с начальными фазами и , причем и . В этом случае говорят, что первый сигнал опережает по фазе второй или второй сигнал отстает по фазе от первого.

Сдвиг фаз связан со смещением сигналов во времени

, (1.9)

положительные значения временного сдвига отсчитываются в направлении оси времени. Гармоническое колебание может быть задано в нетипичной форме, которую необходимо преобразовать к виду (1.1), иначе начальная фаза

Рис. 1.2 оказывается неопреде-

ленной. Примеры преобразования показаны в табл. 1.1.

Таблица 1.1.

Исходный сигнал	Преобразованный сигнал	Начальная фаза

1.2. Комплексная амплитуда гармонического сигнала

Для гармонического сигнала (тока или напряжения) комплексная амплитуда равна

, . (1.10)

Комплексная амплитуда является комплексным числом ( - мнимая единица) и определяется только амплитудой и начальной фазой сигнала и не зависит от его час-

тоты. Комплексная амплитуда обозначается тем же символом, что и амплитуда сигнала, но с точкой сверху.

Например, если мгновенное значение гармонического напряжения равно В, то его комплексная амплитуда равна В или В.

Если запись сигнала отличается от формы (5.1) то необходимо провести соответствующие тригонометрические преобразования, представленные в табл. 1.2.

Таблица 1.2.

Если гармоническое напряжение имеет вид мВ, то после преобразования получим мВ, а комплексная амплитуда будет равна мВ.

1.3. Операции с комплексными числами

Комплексные числа могут быть записаны в двух формах: алгебраической и показательной. В алгебраической форме комплексное число (точка сверху используется для обозначения комплексной амплитуды сигнала, а если речь идет о комплексном сопротивлении или проводимости, то используется подчеркивание символа ) записывается в виде

, (1.12)

где - действительная, а - мнимая части комплексного числа, - мнимая единица.

В показательной форме комплексное число представляется выражением

, (1.13)

величину называют модулем, а - аргументом комплексного числа. От алгебраической формы можно перейти к показательной, модуль комплексного числа равен

, (1.14)

а аргумент

(1.15)

Аргумент комплексного числа, как и начальная фаза гармонического сигнала, величина многозначная, к ней можно добавить (или вычесть) любое число раз. Для обеспечения однозначности аргумента комплексного числа его значения выбирают в диапазоне, например, от до или от 0 до .

Показательную форму комплексного числа можно заменить алгебраической с помощью соотношений

(1.16)

Они вытекают из известной в математике формулы Эйлера,

(1.17)

Например, если комплексное число в алгебраической форме равно , то в показательной форме его можно записать в виде

.

Если комплексное число равно , то в показательной форме получим

.

Для комплексного числа в показательной форме в виде его алгебраическая форма имеет вид

.

С комплексными числами проводятся все четыре арифметические действия.

При сложении и вычитании комплексных чисел и в алгебраической форме получим

. (1.18)

Если числа заданы в показательной форме, то перед сложением или вычитанием их необходимо преобразовать в алгебраическую форму.

Операции умножения и деления удобнее выполнять в показательной форме, когда и , при этом при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются

, (1.19)

а при делении делятся модули и вычитаются аргументы числителя и знаменателя

. (1.20)

Умножение можно провести и с алгебраической формой сомножителей по известным правилам с учетом того, что :

. (1.21)

При делении комплексных чисел в алгебраической форме используется операция устранения комплексности в знаменателе путем умножения числителя и знаменателя дроби на число, комплексно сопряженное знаменателю. Для заданного числа комплексно сопряженное число равно , то есть отличается от противоположным знаком при мнимой части. Произведение двух комплексно сопряженных чисел всегда равно квадрату их модуля,

. (1.22)

Тогда при делении в алгебраической форме получим

(1.23)

Рассмотрим пример и , тогда

,

Эти операции можно провести и в показательной форме

,

,

,

.

Как видно, полученные результаты совпадают.

Полезно запомнить следующие равенства (табл. 1.3.), вытекающие из формулы Эйлера,

(1.24)

Таблица 1.3.

Вычисления с комплексными числами удобно проводить на персональной ЭВМ с помощью пакета программ MathCAD.

1.4. Законы Ома и Кирхгофа для комплексных

амплитуд токов и напряжений

Законы Ома и Кирхгофа применимы в своих классических формулировках для комплексных амплитуд токов и напряжений.

Закон Ома: комплексная амплитуда напряжения на участке цепи прямо пропорционально комплексной амплитуде протекающего через него тока. Для двухполюсного участка цепи его можно записать в виде

или , (1.25)

где - полное комплексное сопротивление, а - полная комплексная проводимость участка цепи.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных амплитуд сходящихся в узле токов равна нулю,

. (1.26)

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных амплитуд падений напряжения на элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме комплексных амплитуд ЭДС идеальных источников напряжения, включенных в этот контур,

. (1.27)

Знаки в алгебраических суммах определяются выбранными положительными направлениями токов и напряжений и направлением обхода контура.

1.5. Комплексные сопротивления и проводимости

элементов цепи

Значения комплексных сопротивлений и проводимостей элементов цепи R, L и C приведены в табл. 1.4 (запомните эти формулы).

Таблица 1.4

Элемент	R	L	C
Комплексное сопротивление
Комплексная проводимость

Комплексные сопротивление и проводимость сопротивления всегда действительны (мнимая часть равна нулю), а индуктивности и емкости – мнимые (действительная часть равна нулю).

Для комплексного сопротивления из закона Ома получим

, (1.28)

где - сдвиг фаз между напряжением и током в

элементе. Для сопротивления напряжение и ток совпадают по фазе, то есть и из (1.28) величина действительна.

В индуктивности напряжение опережает по фазе ток на 90⁰ (на радиан), следовательно , тогда и величина комплексного сопротивления индуктивности оказывается с нулевой действительной и положительной мнимой частями. В емкости , и ее комплексное сопротивление имеет нулевую действительную и отрицательную мнимую части.

1.6. Комплексные сопротивление и проводимость

участка цепи

Полные комплексные сопротивления (и проводимости) двухполюсного участка цепи с произвольным соединением элементов определяются по следующим правилам:

- комплексное сопротивление последовательного соединения двухполюсников равно сумме их комплексных сопротивлений;

- комплексная проводимость параллельного соединения двухполюсников равна сумме их комплексных проводимостей.

Например, сопротивление последовательной цепи, показанной на рис. 1.3а при кОм и пФ и частоте кГц равно

кОм,

Рис. 1.3 а проводимость параллельной це-

пи на рис 5.1б -

Сим.

Зная комплексное сопротивление цепи, можно определить ее комплексную проводимость и наоборот,

(1.29)

Для последовательной цепи на рис. 1.3а ее проводимость равна

Расчет проведен методом устранения комплексности знаменателя путем умножения числителя и знаменателя дроби на множитель, комплексно-сопряженный знаменателю. Можно провести вычисление проводимости путем преобразования комплексного сопротивления из алгебраической формы в показательную,

.

Тогда для проводимости получим

Сопротивление параллельного соединения двух элементов с сопротивлениями и определяется выражением

.

Комплексное сопротивление цепи со смешанным со-

единением элементов определяется следующим образом:

- в цепи выделяется фрагмент с простым (последовательным или параллельным) соединением элементов и определяется его сопротивление или проводимость;

- фрагмент заменяется эквивалентным элементом, в полученной цепи вновь выделяется простой фрагмент и повторяется предыдущее действие;

- эти действия повторяются до тех пор, пока цепь не трансформируется в один элемент с соответствующим сопротивлением или проводимостью.

Рассмотрим цепь, схема которой показана на рис. 1.4 при кОм, нФ, рад/с и определим ее комплексное сопротивление . В цепи выделяется простой параллельный фрагмент из элементов и определяется его сопротивление , равное

Рис. 1.4 .

Тогда параллельный фрагмент заменяется эквивалентным элементом с сопротивлением и схема цепи принимает вид, показанный на рис. 1.5.

Для полученной последовательной цепи ее сопротивление равно

.

Подставляя исходные данные, получим

Рис. 1.5

Ом.

Дата добавления: 2015-11-03