Б.2. Теория принятия решений

Б.2.1. Элементы задачи теории принятия решений

После того как мы описали проверку гипотез на основе статистики Байеса, перейдем к рассмотрению элементов задачи теории принятия решений в контексте системы связи, как показано на рис. Б.З. Источник сигнала в передатчике содержит множество {s,(r)}, i = 1,..., М сигналов (или гипотез). Принимается сигнал КО = s,(t) + n{t), где n(t) — присут­ствующий в канале аддитивный белый гауссов шум (additive white Gaussian noise — AWGN). В приемнике сигнал сокращается до единственного числа z(r = 7), которое может принимать любое значение. Поскольку шум является гауссовым процессом и приемник предполагается линейным, выход z(t) также есть гауссовым процессом [1], а число z(T) — случайной переменной, принимающей значения из непрерывного диапазона,

z(T) = _ai(T) + n₀(T) (Б.5)

Выборка z(T) состоит из сигнального компонента а,{Т) и шумового компонента щ(Т). Время Т—это длительность символа. В каждый момент времени кТ, где к—целое, приемник ис­пользует правило принятия решения для определения принадлежности принятого сигнала к определенному классу сигнала. Для простоты записи выражение (Б.5) иногда используют в виде z-a, + no, где функциональная зависимость от Тне выражается явно.

n(t)   Рис. Б.З. Элементы задачи теории принятия решений в контексте системы связи

Б.2.2. Проверка методом отношения правдоподобий и критерий максимума апостериорной вероятности

При определении правила принятия решения для двух классов сигналов разумно на­чать со следующего соотношения:

tfl

P(s, I z) % P(s₂1 z) H,

Выражение (Б.6) — это сокращенная запись следующего утверждения: “выбрать гипо­тезу #_ь если апостериорная вероятность P(^,|z) больше апостериорной вероятности P(s₂\z); в противном случае выбрать гипотезу Н₂".

Апостериорные вероятности в формуле (Б.6) можно заменить эквивалентными вы­ражениями, полученными из теоремы Байеса (уравнение (Б.4)), что дает следующее:

«X

P(z| *,)/%*,) ^ P(z I s₂)P(s₂). Н₂

Итак, у нас есть правило принятия решения, выраженное через плотности вероятности (правдоподобия). Если переписать выражение (Б.7) и привести его к следующему виду

(Б.8)

то отношение в левой части будет называться отношением функций правдоподобия, а все выражение часто именуют критерием отношения функций правдоподобия. Выраже­ние (Б.8) — это принятие решений на основе сравнения принятого сигнала с порогом. Поскольку проверка опирается на выбор класса сигналов с максимальной апостери­орной вероятностью, критерий принятия решения часто называется критерием мак­симума апостериорной вероятности (maximum a posteriori — МАР). Другое название — критерий минимума ошибки, поскольку в среднем он дает минимальное количество не­верных решений. Стоит отметить, что данный критерий является оптимальным, толь­ко если ошибки всех типов наносят одинаковый вред (или имеют равную цену). Если ошибки некоторых типов обходятся дороже других, необходимо применять критерий, который учитывал бы относительные стоимости ошибок [1].

Б.2.3. Критерий максимального правдоподобия

Довольно часто сведения об априорных вероятностях гипотез или классов сигналов отсутствуют. Даже при наличии такой информации ее точность иногда вызывает со­мнения. В таких случаях решения обычно принимаются исходя из предположения о возможности наиболее выгодной априорной вероятности; иными словами, значения априорных вероятностей выбираются так, чтобы классы были равновероятными. Если выбран такой подход, то критерий принятия решения является критерием макси­мального правдоподобия, и выражение (Б.8) записывается в следующем виде:

Отметим, что критерий максимального правдоподобия, приведенный в выраже­нии (Б.9), аналогичен правилу максимального правдоподобия, описанному в примере Б.З.

Дата добавления: 2015-10-28