Связь корреляционной функции с энергетическим спектром

Как отмечалось в 3 разделе, преобразования Фурье обладают частотно-временной дуальностью. Это означает, в частности, что преобразование сигнала, заключающееся в нахождении его автокорреляционной функции, должно иметь дуальное соответствие в частотной области. Для установления этой связи воспользуемся выражением теоремы Парсеваля,

(7.8)

в котором положим u (t) = s (t + τ) и соответственно .

Тогда получим

(7.9)

Учитывая, что , приходим к соотношению

(7.10)

(7.11)

Итак, прямое преобразование Фурье (7.11) корреляционной функции B_S (τ) позволяет получить энергетический спектр сигнала W_S (ω) (спектральную плотность мощности), а обратное преобразование (7.10) определяет корреляционную функцию. Выражения (7.10) и (7.11) составляют суть теоремы, известной как теорема Винера-Хинчина.

Из выражений (7.10) и (7.11) можно сделать следующие выводы.

1. Чем шире спектр сигнала s (t), тем меньше интервал корреляции τ_k.

2. Чем больше интервал корреляции τ_k заданного сигнала, тем меньше ширина его спектра.

3. Корреляционная функция B_S (τ) не зависит от ФЧХ спектра сигнала. Но так как форма сигнала s (t) при заданном амплитудном спектре существенно зависит от ФЧХ, то можно заключить, что различным по форме сигналам, имеющим одинаковые амплитудные спектры, соответствуют одинаковые корреляционные функции B_S (τ).

Необходимо отметить, что полученная связь между автокорреляционной функцией и энергетическим спектром позволяет установить критерий существования сигнала с заданными характеристиками. Известно, что энергетический спектр любого сигнала, по определению, всегда положителен. Это означает, что корреляционная функция не может иметь, например, вид прямоугольника, т. к. в этом случае энергетический спектр должен описываться знакопеременной функцией, что противоречит физическим представлениям.

Дата добавления: 2015-10-28