Автокорреляция вещественного сигнала

Греческое слово «корреляция» обозначает связь между различными процессами и явлениями. Автокорреляцией называется согласование сигнала s (t) с собственной запаздывающей версией s (t - τ). Автокорреляционная функция (АКФ) действительного вещественного сигнала s (t) конечной длительности определяется следующим образом:

(7.1.)

Автокорреляционная функция B_S (τ) дает меру похожести сигнала с собственной копией, смещенной на τ единиц времени. Переменная τ играет роль параметра сканирования или поиска.

Если сигнал s (t) является периодическим с периодом Т ₀, то автокорреляционную функцию следует выражать следующим образом:

(7.2)

Таким образом, значение автокорреляционной функции в нуле периодического сигнала равно средней мощности сигнала.

Разделив B_S (τ) на B_S (0), получим нормированную корреляционную функцию, которая имеет обозначение R_S (τ).

В системах связи для передачи сигналов широко используются видеоимпульсы прямоугольной формы. Для таких сигналов АКФ имеет вид

. (7.3)

Энергия такого видеоимпульса равна

E_S = A_m ² ×t_И (7.4)

Важным параметром сигнала s (t) является длительность его АКФ, называемая интервалом корреляции τ_k. Он определяется как отношение площади, ограниченной АКФ сигнала s (t), к энергии сигнала

Свойства автокорреляционной функции вещественного сигнала:

1. B_S (τ) – четная; B_S (τ) = B_S (- τ) (симметрия по τ относительно 0);

2. B_S (0) – max; , т.е. в нуле равно энергии сигнала;

3. B_S (τ) ≤ B_S (0), корреляционная функция является убывающей функцией модуля τ, т. е.

4. – интервал корреляции случайного процесса, характеризует ширину графика функции корреляции:

| t | £ t_k – то значения коррелированны,

| t | > t_k – то значения не коррелированны.

5. R (t) = В (t) / В (0) – коэффициент корреляции, | R (t)| £ 1.

Процедура нахождения АКФ представлена на рис. 7.1., где видно, что АКФ прямоугольного видеосигнала является равнобедренным треугольником, и ее длительность равна удвоенной длительности импульса.

Если же сигнал s (t) задается в виде пачки n импульсов, сдвинутых один относительно другого на время Т, то максимальное значение B_S (τ) при τ = 0 равно произведению энергии одного импульса на количество импульсов (см. рис. 7.2).

Рис. 7.1. Нахождение АКФ прямоугольного видеоимпульса

Для оценки степени связи между двумя различными сигналами s ₁(t) и s ₂(t) используется взаимная корреляционная функция (ВКФ) В ₁₂(τ)

(7.5)

Рассмотренная выше автокорреляционная функция B_S (τ) является частным случаем функции В ₁₂(τ), когда s ₁(t) = s ₂(t) = s (t).

Необходимо также отметить, что В ₁₂(τ) является асимметричной функцией относительно оси ординат и не всегда достигает максимума при τ = 0.

Рис. 7.2. Автокорреляционная функция пачки импульсов

Дата добавления: 2015-10-28