Смешанное произведение трех векторов и его свойства.

Определение. Смешанным произведением трех векторов a,b,c называется число abc, определяемое формулой

abc = [ab]c.

Из определения смешанного произведения вытекают следующие его свойства:

1. Абсолютная величина смешанного произведениея abc равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a,b и с.

2. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, то есть

abc = bca = cab.

3. При перестановке двух сомножителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный, то есть

abc = -acb = -bac.

4. Три вектора a,b,c компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Теорема. (Выражение смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов). Пусть трехмерные векторы a,b,c заданы своими прямоугольными координатами

a = (a₁,a₂,a₃), b = (b₁,b₂,b₃), c = (c₁,c₂,c₃).

Тогда их смешанное произведение abc равно определителю третьего порядка, строки которого являются соответственно координатами перемножаемых векторов, то есть

abc = (6)

Дата добавления: 2015-09-04