Метод найбільшої правдоподібності. Метод найменших квадратів.

Досліджувана нами величина R за визначеного значення T є випадковою вели­чиною, яка зкладається з регулярної та випадкової складової. Отже, формально dR_і мож­на вважати функцією коефіцієнтів в рівнянні (1).

d Rі (T)= Rі (T) — (a n T ^n + a n— 1 T ^n ^—1 +...+ a1 T + a0).

(2)

Припустимо, що необхідно для обраної функції (в нашому випадку — для полі­ному заданої степіні) найбільш ефективно оцінити систему параметрів a _і. Метод найбільшої правдоподібності дозволяє розв’язати цю проблему. Цей метод поля­гає в тому, що для набору випадкових величин d R_і будується функція правдоподібності L, яка є ймовірностю отримати на експерименті саме цей набір значень R_і (T_i) для обра­ної функції R (T).

Якщо величини d R_і незалежні одна від одної (це дуже суттєве обмеження, яке на практиці мо­же і не виконуватись), функція правдоподібності L дорівнюватиме добутку ймовірно­стей p (d R_і):

L = p (d Rn) × p (d Rn -1)×...× p (d R 1),

(3)

де n — кількість експериментальних точок. За умов нормального розподілу d R_і

(4)

і функція правдоподібності до­рів­нює

,

(5)

де р_i(0)=p₀ і s² (дисперсія величини R) вважаються однаковими для кожного виміру.

Методами математичної статистики показується, що найбільш правдоподібна оцінка системи параметрів a _і відповідає максимуму функції правдоподібності (макси­мальна ймовірність), тобто із умов

¶ L /¶a і = 0, i= 0, 1, 2,..., n‚

(6)

або‚ оскільки логарифм є монотоннoю функцією аргументу‚ іноді використовують оцінку

¶ ln L / ¶a і = 0, i = 0, 1, 2,..., n.

(7)

Виражаючи (3) через (2) та підставляючи в (7) отримуємо систему лінійних рівнянь, які легко розв’язуються методами алгебри або аналітично на комп’ютері (пропонуємо ви­вести самостійно системи рівнянь). Як видно з (4), за умови нормального розподілу величини d R_і з ну­льо­вим середнім максимум функції правдоподібності має місце за умови мінімуму величини , тобто працює окремий випадок метода най­біль­шої прав­до­по­діб­ності — метод найменших квадратів, який ретельно описано в [1].

Довірчі оцінки. Критерій значущості c²

Метод найменших квадратів або комп’ютерний розрахунок дозволяють знайти коефіцієнти a _i в рівнянні (1). Проте‚ вони нічого не говорять про точність або до­сто­вірність оцінок, зроблених таким чином. Методи математичної статистики дають мож­ли­вість кількісно оцінити‚ наскільки вірною була висунута гіпотеза‚ тобто за­про­по­но­ва­на експериментатором інтерпретація отриманих результатів. Робиться це за до­по­мо­гою довірчих оцінок. Останні вказують кількість випадків (ймовірність р) знайти ве­ли­чину‚ що вимірюється‚ в серії однакових експериментів. Цими величинами може бути середнє значення‚ дисперсія‚ тобто будь-яка функція вибірки “випадкових” екс­пери­мен­тальних значень (наприклад R_і (T)).

Нехай ми висунули деяке припущення щодо істиної поведінки величини R в за­лежності від T ‚ тобто ми висловили гіпотезу. Очевидно‚ що між експериментальними точ­ками та теоретичною кривою буде існувати деякий розкид. Справедливо запитан­ня — наскільки уваги треба йому приділяти? Наскільки істотними є спостережені роз­біж­ності? Чи не є вони передвісниками нового‚ невідомого ще явища? Очевидним рі­шен­ням проблеми є багатократне повторення експерименту. Проте‚ воно є дорогим‚ від­німає багато часу‚ а іноді просто неможливе. Дослідження цієї проблеми робиться за до­помогою критеріїв значущості.

Зрозуміло‚ що відносно однієї і тієї ж низки результатів можна висунути де­кіль­ка гіпотез. В тому числі‚ що теоретична крива проходить через усі точки. Формально‚ така крива найліпше задовольняє експериментальним результатам. Однак‚ здоровий глузд вказує‚ що це не так. До того ж‚ висновки математичної статистики‚ яку засто­со­вують при обробці результатів‚ справедливі в асимптотиці‚ тобто при великій кількості ступенів волі. Це означає, що кількість експериментальних точок має бути значно біль­шою‚ ніж степінь поліному n. Чим більше експериментальних точок‚ тим більше сту­пенів волі. Ступенем волі називається число, що дорівнює різниці між кількістю експе­ри­ментальних точок та кількістю параметрів‚ що необхідно встановити з експерименту. Наприклад‚ при числі експериментальних точок 2 можна одним єдиним чином про­вести пряму (встановити два параметри), 3 — параболу (встановити три параметри), тощо. В такому випадку число ступенів волі дорівнює 0. Проте із збільшенням числа експериментальних точок, з’являється вибір — зростає кількість ступенів волі. Чим біль­ше ступенів волі, тим достовірніше інтерпретація результатів експерименту. В кон­кретному випадку поліноміальної залежності‚ кількість ступенів волі має бути набагато більша за степінь полінома.

Корисним критерієм оцінки розбіжностей між теоретичною і експе­римен­таль­ною кривою є оцінка того‚ наскільки розкид задовольняє нормальному або Гаусовому розподілу (4). Принаймі‚ якщо дійсно має місце такий розкид‚ це дозволяє з чистим серцем облишити подальші пошуки невідкритих закономірностей. Мірою порівняння‚ очевидно‚ виступає точність‚ з якою вимірюються експериментальні точки, і яку можна (і необхідно!) оцінити з незалежних джерел — багатократних повторів вимірів, при­пу­сти­мих похибок приладів, тощо. В методі c² за таку міру приймається сума ква­дратів від­хилень від теоретичної залежності‚ від­не­сені до стандартної похибки данного виміру

(8)

За допомогою таблиці‚ що наведена в [1] і яку легко знайти в будь-якому мате­ма­тичному довіднику (наприклад [3])‚ для відповідного числа ступенів волі вста­нов­лю­є­ться ймовірність р знайти залежність‚ що припускається‚ в серії однакових екс­пе­ри­ментів. Детально робота з таблицею описано в [1].

При порівнянні з таблицею використовують таку термінологію. Якщо знайдена з досліду величина c² має спостерігатися в 1...5 % випадків‚ то відхилення експери­мен­таль­них точок від теоретичних є майже значні ‚ якщо в 0,1...1%‚ то значні ‚ якщо менше 0,1% — дуже значні (тобто теоретичній залежності нема віри). В останньому випадку треба шукати іншу теоретичну залежність, наприклад, підвищити степінь полінома. При ймовірності c² біль­ше 5% — експериментальних точок занадто мало‚ щоб від­ки­ну­ти гіпотезу. Це може означати, що гіпотеза вірна, а з іншого боку — що екс­пе­ри­мен­тальні точки недостатньо точні, і для підтвердження або спростування гіпотези треба виконати більш точні виміри.

Дата добавления: 2015-08-27