Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Дифференциалы высших порядков от функции двух аргументов.

Геометрический смысл функции 2-х переменных | Частные приращения функции двух аргументов, частные производные первого порядка, частные производные высших порядков | Сложные функции и их дифференцирование. | Неявные функции и их дифференцирование. | Экстремум функции двух переменных, условный экстремум, наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области. | Скалярное поле, производная по направлению, градиент, их свойства. | Интегрирование тригонометрических функций | Интегрирование дробно-рациональных функций. | Интегрирование некоторых трансцендентных функций. | Интегрирование простейших иррациональных алгебраических функций. |


Читайте также:
  1. Defining functions Определение функции
  2. II. Основные цели, задачи и функции Центра
  3. II. Основные цели, задачи и функции Центра
  4. II. Функции тахографа и требования к его конструкции
  5. III. Функции ФСБ России
  6. Lt;question>Укажите функции научного стиля?
  7. А когда торговцы покупали себе должности в высших кругах

Пусть у=ƒ(х) дифференцируемая функция, а ее аргумент х — независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy=ƒ'(х)dx есть также функция х; можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции у=ƒ(х) называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается d2y или d2ƒ(х).

Итак, по определению d2y=d(dy). Найдем выражение второго дифференциала функции у=ƒ(х).

Так как dx=∆х не зависит от х, то при дифференцировании считаем dx постоянным:

d2y=d(dy)=d(f'(x)dx)=(ƒ'(х)dx)'•dx=f"(x)dx•dx=f"(x)(dx)2 т. е.

d2y=ƒ"(х)dх2. (24.5)

Здесь dx2 обозначает (dx)2.

Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка

d3y=d(d2y)=d(ƒ"(х)dx2)≈f'(x)(dx)3.

И, вообще, дифференциал n-го порядка есть дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка: dny=d(dn-ly)=f(n)(x)(dx)n.

Отсюда находим, что , В частности, при n=1,2,3

соответственно получаем:

т. е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

 

Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если х — независимая переменная. Если же функцию у=ƒ(х), где х — функция от кαкой-тo другой независимой переменной, то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем это на примере дифференциала второго порядка.

 

Используя формулу дифференциала произведения (d(uv)=vdu+udv), получаем:

d2y=d(f'(x)dx)=d(ƒ'(х))dx+ƒ'(х)•d(dx)=ƒ"(х)dx•dx+ƒ'(х)•d2x, т. е.

d2y=ƒ"(х)dx2+ƒ'(х)•d2x. (24.6)

Сравнивая формулы (24.5) и (24.6), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала второго порядка изменяется: появляется второе слагаемое ƒ'(х)•d2х.

Ясно, что если х — независимая переменная, то

d2x=d(dx)=d(l•dx)=dx•d(l)=dx•0=0

и формула (24.6) переходит в формулу (24.5).



Дата добавления: 2015-08-20; просмотров: 54 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Полное приращение и полный дифференциал функции двух аргументов первого порядка. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.| Касательная плоскость и нормаль к поверхности в заданной точке.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)