Формула Грина

Пусть в плоскости x 0 y задана область , ограниченная замкнутым контуром . Предположим, что прямые, параллельные осям x и y пересекают этот контур не более чем в двух точках, так что контур можно описать любым из следующих двух способов:

, ,	, x ,

Пусть в области заданы функции P и Q, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка.

Рассмотрим интеграл

Представляя его в виде двукратного получим:

Интегралы в правой части последнего выражения являются криволинейными интегралами, взятыми соответственно по верхней: и нижней частям контура . Но только направление обхода контуров у этих интегралов различное. Для того, что бы у обоих интегралов было одно направление обхода контура, переменим в первом из них направление интегрирования.

. Отсюда следует:

причем контур обходиться против часовой стрелки.

Аналогично

Здесь для сохранения правила обхода против часовой стрелки нужно изменить порядок интегрирования во втором интеграле справа. Тогда по аналогии получим:

Вычитая (*) из (**) получим формулу Грина:

ЗАМЕЧАНИЕ. Каждая из формул (*) и (**) дает соответствующую формулу интегрирования по частям.

Дата добавления: 2015-08-17