Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Марковские случайные процессы

Читайте также:
  1. II. Внутриполитические процессы в 1979—1981 гг.
  2. IX. СИМПТОМАТИЧЕСКИЕ И СЛУЧАЙНЫЕ ДЕЙСТВИЯ
  3. V. Фонетические процессы. Взаимодействие звуков в потоке речи.
  4. Автономные импульсные процессы. Алгоритм вычисления вектора импульсов и вершин.
  5. Анализ и интерпретация показателей, характеризующих социально-экономические процессы и явления на микро- и макро- уровне;
  6. В.3.Процессы галогенирования.
  7. В2.Процессы глобализации и положение национальных хозяйств

Предположим, что система может менять случайным образом свое состояние в некоторые моменты времени t 1, t 2, …,
ti, … Последовательность принимаемых системой состояний называется случайным процессом (цепью).

Обозначим En, где n = 1, 2, … – множество возможных состояний системы, Pn (i) – вероятность нахождения системы в конкретном состоянии En в момент времени ti.

Марковский процесс – это такой процесс, будущее состояние которого определяется только его состоянием в настоящий момент времени и не зависит от предыдущих состояний.

Поэтому, каждой паре состояний En, Ek можно поставить в соответствие условную вероятность Pnk того, что система будет находиться в состоянии Ek в момент ti +1 при условии, что в момент ti она находится в состоянии En.

Цепь Маркова с непрерывным временем удобно изображать в виде графа состояний, узлы которого соответствуют возможным состояниям системы, а дуги графа – возможным одношаговым переходам между состояниями. Каждая дуга снабжается числом, равным вероятности соответствующего перехода, что иллюстрирует рис. 2.

Обозначим:

En – состояние системы, когда в ней находится n заявок;

l n – интенсивность входного потока в состоянии En;

m n – параметр закона распределения времени обслуживания в состоянии En.

Рассмотрим процесс функционирования системы на малом интервале времени (t, t + dt). На этом отрезке времени в системе могут произойти следующие переходы с соответствующими вероятностями:

· вероятность перехода E 0 ® E 0 определяется вероятностью отсутствия прихода заявок в течение интервала (t, t + dt) и равна (1 – l0 dt);

· вероятность перехода En ® En +1 определяется вероятностью прихода заявки и равна l ndt;

· вероятность перехода En ® En –1 определяется вероятностью обслуживания за время одной заявки. При показательном законе обслуживания на выходе СМО имеем пуассоновский поток плотности m n, в котором вероятность появления события на интервале равна m ndt;

· вероятность остаться в текущем состоянии (переход En ® En) равна 1 – l ndt – m ndt, она определяется вероятностью составного события: за время dt заявка не придет и не будет обслужена.

Учитывая все перечисленные переходы и их вероятности, можно построить граф состояний, показанный на рис. 3.

Графу состояний соответствует матрица переходов

На рис. 4 представлен пример одноканальной СМО.

Для графа состояний этой СМО система уравнений имеет вид:

P (t + dt) = P (t) J, где

Уравнения вероятностей состояний в развернутом виде

Последние при dt ® 0 преобразуются в дифференциальные уравнения Колмогорова:

Эти уравнения могут быть решены при заданных начальных условиях, например P 0(0) = 1, Pn (0) = 0, n ¹ 0. Из решения системы уравнений при следуют решения для стационарных (финальных) вероятностей состояний .

Решение системы линейных дифференциальных уравнений и построение временных характеристик в среде MathCAD выполняется с помощью тех же методов и средств, которые использовались для этих целей в лабораторной работе №1. Применительно к системе дифференциальных уравнений вероятностей состояний MathCAD-программа может выглядеть как на рис. 5.

 
 
Рис. 5. Моделирование СМО в среде MathCAD


Прямой путь получения уравнения стационарного режима состоит в приравнивании нулю производных вероятностей состояний в системе дифференциальных уравнений Колмогорова и замене переменных Pn (t)на Pn. Для описываемой системы получим

Кроме того, одно из линейно зависимых уравнений (любое) следует заменить уравнением нормировки. Окончательная система линейных алгебраических уравнений имеет вид:

Эту систему необходимо решить средствами MathCAD.


Дата добавления: 2015-08-17; просмотров: 101 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
МОДЕЛИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ| Поля геологических признаков

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)