Пример Д8

Вертикальный вал длины (AB = BD = DE = ), закрепленный подпятником A и подшипником E (рис. Д8б), вращается с постоянной угловой скоростью . К валу жестко прикреплен в точке D ломаный однородный стержень массы и длины ,состоящий из двух частей 1 и 2, а в точке B прикреплен невесомый стержень длины с точечной массой на конце; оба стержня лежат в одной плоскости.

Дано: = 15 с^-1, 10 кг, =4 кг, = 30⁰,

= 120⁰, =30⁰, = 0,5 м, = 0,1 м.

Определить: реакции подпятника A и подшипника E, пренебрегая весом вала.

а б

Рис. Д8

Решение.

Изображаем (с учетом заданных углов) вал и прикрепленные к нему в точках B и D стержни (рис. Д8а). Массы и веса частей 1 и 2 ломаного стержня пропорциональны длинам этих частей и соответственно равны

; ; ; ; . (1)

Для определения искомых реакций рассмотрим движение заданной механической системы и применим принцип Даламбера. Проведем вращающиеся вместе с валом оси Axy так, чтобы стержни лежали в одной плоскости xy, и изобразим действующие на систему силы: активные силы – силы тяжести и реакции связей – составляющие реакции подпятника , и реакцию цилиндрического подшипника .

Согласно принципу Даламбера, присоединим к этим силам силы инерции элементов однородного ломаного стержня и груза, считая его материальной точкой.

Так как вал вращается равномерно, то полные ускорения элементов стержня равны нормальным ускорениям, , направлены к оси вращения и численно равны , где есть расстояния элементов от оси вращения. Тогда силы инерции будут направлены от оси вращения и численно равны , где – масса элемента. Так как все пропорциональны , то эпюра этих параллельных сил инерции для части 1 стержня образует треугольник. Силы , действующие на элементы части 2 стержня, параллельны ей (рис. Д8а).

Каждую из полученных систем параллельных сил инерции заменим ее равнодействующей, равной главному вектору этих сил. Так как модуль главного вектора сил инерции любого тела имеет значение , где – масса тела, – ускорение его центра масс, то для частей стержня соответственно получим:

. (2)

Сила инерции точечной массы 3 должна быть направлена в сторону, противоположную ее ускорению, и численно равна

. (3)

Ускорения центров масс частей 1 и 2 стержня и груза 3 равны:

, (4)

где , – расстояния центров масс частей стержня от оси вращения, а – соответствующее расстояние груза:

м,

м, (5)

м.

Подсчитаем теперь по формулам (2) и (3) значения , и :

н,

н, (6)

н.

Линия действия равнодействующей проходит через центр тяжести эпюры сил инерции части 1 стержня на расстоянии 2H/3 от вершины D треугольника, где . Линия действия равнодействующей проходит вдоль части 2 стержня.

Согласно принципу Даламбера, приложенные внешние силы (активные и реакции связей) и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составим для этой плоской системы сил три уравнения равновесия. Получим

;

,

;

, (7)

;

где H ₁, H ₂, H ₃ – плечи сил , , относительно точки A. Найдем численные значения этих величин, учитывая, что

м.

м, м, (8)

м.

Подставив в уравнения (7) соответствующие величины из равенств (1), (5), (6) и (8) и решив эту систему уравнений (7), найдем искомые реакции.

Ответ: Х_А =-95,0 н; Y_A = 140,0 н; R_E = -107,0 н.

Дата добавления: 2015-08-20