|
Читайте также: |
Этот метод является применением известного вам по теории обработки сигналов z -преобразования к описанию распределения вероятностей.
Пусть имеется функция дискретного аргумента n, представляющая собой невозрастающую последовательность. Z- преобразованием последовательности называют функцию комплексной переменной
.
Если функция pn имеет смысл распределения вероятностей полной системы событий, то соответствующее z -преобразование называют производящей функцией. Применение этого преобразования позволяет упростить решение уравнений равновесия для процессов гибели-размножения, сводя решение систем разностных уравнений к системам алгебраических.
Будем опираться на известные свойства z – преобразований, приведенные, например, в книге Л. Клейнрок «Теория массового обслуживания».
Для производящих функций нетрудно получить как частный случай следующие соотношения
Теперь вернемся к системе массового обслуживания M/M/1, уравнения которой имеют вид
Решим эти уравнения методом производящих функций. Умножим правую и левую часть на zn и просуммируем от нуля до бесконечности.
В результате получим
.
Группируя соответствующие члены, получаем
Из соотношения
Полученное выражение сразу позволяет найти среднюю длину очереди, исходя из свойств производящей функции
.
Этот результат, конечно, совпадает с полученным ранее прямым методом.
Найденная производящая функция позволяет сразу определить и все значения вероятностей. С этой целью можно воспользоваться таблицей z-преобразований или разложить производящую функцию в степенной ряд и выписать полученные коэффициенты. Можно также воспользоваться вычислением обратного z-преобразования с помощью теоремы о вычетах.
.
Рассмотрим теперь систему M/M/2, которая встретится нам в дальнейшем еще раз. Решение уравнения равновесия для неё было найдено в виде
Найдем производящую функцию
Выражения для полученных здесь производящих функций будут использованы далее при рассмотрении сетей с интеграцией средств коммутации пакетов и каналов.
Дата добавления: 2015-08-02; просмотров: 78 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Анализ времени доставки сообщений в сетях с коммутацией пакетов. | | | Модели интеграции речи и данных. |