Монотонная ограниченная последовательность сходится.

Любая неубывающая последовательность, ограниченная сверху, - сходящаяся.

Любая невозрастающая последовательность, ограниченная снизу, - сходящаяся.

Док-во: (для неубывающей) Для Xn£Xn+1 для "n. Так как последовательность ограничена, то существует число А такое, что выполняется неравенство Xn£А для "n. Рассмотрим множество Х, состоящее из элементов последовательности {Xn}. По условию это множество ограничено сверху и не пусто. Þ Множество Х имеет точную верхнюю грань. Обозначим ее через А и докажем, что А – предел {Xn}.

Так как А – точная верхняя грань множества Х, то для "e>0 найдется номер N такой, что XN >A - e. Так как последовательность {Xn} неубывающая, то при "n>N имеем Xn>A - e. С другой стороны, Xn£A<A+e для "n. Т. о., при "n>N получаем неравенство A - e<Xn<A+e, т. е. |Xn – A|< e при "n>N. Þ А – предел последовательности {Xn}.

ЗАМ: ограниченность монотонной последовательности является необходимым и достаточным условием сходящейся последовательности.

15. Число е.

ТЕОР: Рассмотрим последовательность Xn=(1+1\n)^n и докажем, что эта последовательность сходящаяся и ее предел равен е.

Док-во: Докажем, что она сходится. Для этого достаточно доказать, что она возрастающая и ограниченная сверху.

1) Докажем, что последовательность {Xn} возрастающая, т. е. для "n Xn<Xn+1.

(1+1/n) разложим по формуле бинома Ньютона.

Xn = (1+1/n) = 1+(n/1!) ·(1/n)+(n ·(n – 1)/2!) ·(1/n )+(n ·(n – 1) ·(n – 2)/3!) ·(1/n )+K+(n ·(n – 1) ·(n – 2)) ·K·(n – (n – 1))/n!) ·(1/n ) = 2+(1/2!) ·(1 – 1/n)+(1/3!) ·(1 – 1/n) ·(1 – 2/n)+K+(1/n!) ·(1 – 1/n) ·(1 – 2/n) ·K·(1 – (n – 1)/n)

Аналогично для Xn+1. Для любого 0<k<n выполняется соотношение (1 – 1/k)<(1 – 1/(k+1)). Þ Ввыражении для Xn+1 каждое слагаемое больше, чем соответствующее слагаемое в выражении для Xn. Þ Xn< Xn+1 для любого n. Þ {Xn} – возрастающая последовательность.

2) Докажем, что последовательность {Xn} – ограничена сверху. Рассмотрим выражение для Xn. Так как 1/k!<1/2^(k-1) при k>2, то Xn<2+1/2!+1/3!+…+1/n!<1+1+1/2+1/4+1/8+…+1/2^(n-1)=1+(1 – 1\2^n)/(1 – 1/2) = 1+2(1 – 1\2^n) = 3 – 1\2^(n-1)<3. Þ Для "n 2<Xn<3 и последовательность {Xn} ограничена сверху. По Т о мон огр последовательности она является сходящейся. Ее предел на бесконечности Эйлер обозначил через е. lim(1+1\n)^n=e (n->∞)

Число е – иррациональное, это число не может быть корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Такие иррациональные числа называются трансцендентными.

16. Теорема о вложенных промежутках.

Дата добавления: 2015-08-02