ТЕОР: Свойство точной верхней грани.

M;M)("xÎX):m£x£M

Множество ограниченное сверху и снизу – ограниченное, если существуют точка А>0 такая, что для всех х из множества Х выполняется неравенство |x|£A.

A>0)("xÎX):|x|£A

ТЕОР: Ограниченное сверху множество имеет бесконечное множество верхних граней.

Док-во: Пусть С – верхняя грань множества Х Þ ($C) ("хÎХ): х£C, произвольное C’>C Þ для "хÎХ х£С<C’ Þ x<C’ Þ C’ – верхняя грань множества Х "хÎХ х£С<C’ Þ x<C’ Þ Ограниченное сверху множество имеет бесконечное число верхних граней.

ТЕОР: Ограниченное снизу множество имеет бесконечное множество нижних граней.

Док-во: Пусть С – нижняя грань множества Х Þ ($C) ("хÎХ): х³C, произвольное C’<C Þ для "хÎХ х³С>C’ Þ x>C’ Þ C’ – нижняя грань множества Х "хÎХ х³С>C’ Þ x>C’ Þ Ограниченное снизу множество имеет бесконечное число нижних граней.

Наименьшая из верхних граней ограниченного сверху множества – точная верхняя грань.

Наибольшая из нижних граней ограниченного снизу множества - точная нижняя грань.

ТЕОР: Свойство точной верхней грани.

Точную верхнюю грань нельзя уменьшить. Как бы не было мало e> 0, найдется х’, принадлежащий множеству Х, обладающий свойством х’>sup(x- e). ("e>0)($x’ÎX):x’>sup(x - e)

Док–во: Пусть не существует x’ÎX, обладающего свойством x’> sup(x) - e Þ для всех хÎХ выполняется условие x<sup(x) - e.

PP: не существует X’ÎX x’>sup (x) - e Þ ("xÎX): x<sup (x) - e Þ sup (x) - e - точная верхняя грань множества Х, это противоречит тому, что sup (x) – точная верхняя грань.

Дата добавления: 2015-08-02