Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Определение непрерывности функции в точке

Неопределенные степенно-показательные выражения | Монотонные последовательности | Принцип сходимости последовательности | УПРАЖНЕНИЯ | Определение и геометрическое истолкование предела функции | Распространение теории пределов | Примеры на нахождение пределов для некоторых неопределенных выражений | Сравнение бесконечно малых | Наоборот, бесконечно малые | Классификация бесконечно больших |


Читайте также:
  1. A) определение b) обстоятельство c) часть глагола-сказуемого
  2. I. Определение сильных и слабых сторон вашего типа личности, которые могут проявиться в работе.
  3. I. Перепишите следующие предложения и переведите их на русский язык, обращая внимание на функции инфинитива.
  4. I. Понятие об эмоциях, их структура и функции. Механизмы психологической защиты
  5. I.3.1. Определение номенклатуры и продолжительности выполнения видов (комплексов) работ
  6. II этап. Определение рыночной стратегии
  7. II. 3. Определение потребности и выбор типов инвентарных зданий

Функция называется непрерывной в некоторой точке х 0, если:

1) функция определена в точке х 0 и ее окрестности;

2) существует предел функции при х ® х 0, который равен значению функции в точке х 0.

. (1.23)

Равенство (1.23) показывает, что для непрерывных в точке функций знак характеристики функции и знак предела можно менять местами. Здесь .

Определение непрерывности функции можно сформулировать в других терминах. Переход от значения х 0 к другому значению х можно себе представить так, что значению х 0 придано приращение D х 0 = х – х 0. Новое значение функции y = f (x) = f (х 0+D х 0) разнится от старого у 0 = f (x 0) на приращение D у 0 = f (х) – f (x 0) = f (х 0+D х 0) – f (x 0). Для того, чтобы функция f (x) была непрерывна в точке х 0, необходимо и достаточно, чтобы ее приращение D у 0 в этой точке стремилось к нулю вместе с приращением D х 0 независимой переменной. Иными словами: непрерывная функция характеризуется тем, что бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое же приращение функции.

Возвращаясь к основному определению (1.23), раскроем его содержание на «языке e» (1.12). Смысл непрерывности функции f (x) в точке х 0 сводится к следующему: каково бы ни было число , для него найдется такое число , что неравенство влечет за собой . Последнее неравенство, таким образом, должно выполняться в достаточно малой окрестности точки х 0.

Наконец, «на языке последовательностей» (1.13) непрерывность выразится так: какую бы последовательность значений х из окрестности х 0: х 1, х 2,…, хп, , сходящуюся к х 0 , ни взять, соответствующая последовательность значений функции f (х 1), f (х 2),…, f (хп),… сходится к f (x 0).

Отметим, что в (1.12) и (1.13) функция f (x) в точке х 0 может быть и не определена, но непрерывная в точке х 0 функция должна быть определена в этой точке. Поэтому требование | х – х 0| > 0 здесь излишне.

 


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 48 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
УПРАЖНЕНИЯ| Функции, непрерывные в промежутке

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.005 сек.)