Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Определение линейного пространства.

Линейные операции над векторами. | Координаты вектора в данном базисе. | Проекция вектора на ось. | Ортонормированный базис на плоскости и в пространстве. | Действия над векторами в координатной форме. | Определение и свойства скалярного произведения. | Скалярное произведение в координатной форме. | Некоторые приложения скалярного произведения. | Определение векторного произведения. | Свойства векторного произведения |


Читайте также:
  1. A) определение b) обстоятельство c) часть глагола-сказуемого
  2. I. Определение сильных и слабых сторон вашего типа личности, которые могут проявиться в работе.
  3. I.3.1. Определение номенклатуры и продолжительности выполнения видов (комплексов) работ
  4. II этап. Определение рыночной стратегии
  5. II. 3. Определение потребности и выбор типов инвентарных зданий
  6. II. Измерение амплитудной характеристики усилителя и определение его динамического диапазона
  7. VI. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТОИМОСТИ И СОСТАВЛЕНИЕ СМЕТ НА ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЕ РАБОТЫ

Непустое множество L называется линейным или векторнымпространством над полем R действительных чисел, если

1) для каждых двух элементов х, у Î L определен элемент х+уÎL, называемый их суммой;

2) для каждого элемента х Î L и каждого числа a Î R определен элемент Î L, называемый произведением элемента х на число a.

При этом выполняются свойства (аксиомы):

1. х+у=у+х,

2. (х+у)+ z=x+ (y+z),

3. существует нулевой элемент θ такой, что для каждого x Î L

x+ θ =x,

4. для каждого х Î L существует элемент (- хL, называемый противоположным элементу х, такой, что

х+ (- х)= θ,

5. 1 х = х,

6. a ()=(ab) х,

7. a (х+у)= aх+aу,

8. (a+b) х=aх+bх.

Элементы линейного пространства называются векторами.

Теорема 6.1. В линейном пространстве существует единственный ноль (нулевой вектор).

2. Для каждого вектора линейного пространства существует единственный противоположный вектор.

3. Для всякого вектора х линейного пространства и числа a Î R

0 х= θ, - х= (-1) х, α θ = θ

Доказательство: 1. Пусть θ 1 и θ 2 – два нулевых вектора линейного пространства L, тогда для каждого вектора х Î L выполняются равенства х+ θ 1 = х и х+ θ 2 = х,

т.е. θ 1= θ 1+ θ 2= θ 2 и нулевой вектор единственен.

2. Пусть х 1, х 2 – векторы, противоположные вектору х: х+х 1= θ, х+х 2 = θ. Тогда на основании аксиом линейного пространства получим

х 1 = х 1+ θ = х 1+(х+х 2) = (х 1+ х) + х 2 = θ + х 2 = х 2,

т.е. противоположный вектор определяется однозначно.

3. Если х Î L, то 0 х+х= 0 х+ 1 х= (0+1) х= 1 х=х, т.е. 0 х+х=х. Прибавим к обеим частям этого равенства вектор – х; находим

θ = х+ (- х)=(0 х+х)+(- х)=0 х+ (х+ (- х))=0 х+ θ =0 х.

Далее, х+ (-1) х= 1 х+ (-1) х =(1-1) х =0 х = θ, т.е. (-1) х является, по определению, противоположным к х и в силу его единственности - х =(-1) х.

Теорема 6.1. доказана.

Линейной комбинацией векторов х 1, …, xm Î L с коэффициентами a 1, …, am Î R называется вектор вида

х=a 1 х 1+ a 2 х 2+ …+ amxm.

 


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 54 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Определение смешанного произведения.| Линейная зависимость

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)