Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Для решетчатых функций вводится понятие конечных разностей и сумм, которые в некотором смысле соответствуют понятиям производной и интеграла для обычных функций.

Основные положения. | Свойства Z-преобразования. | Передаточные функции дискретных систем | Определение процессов в импульсных системах при типовых воздействиях. | Учитывая, что Ф(z,e) является дробно-рациональной по отношению к переменной z и обозначая | Анализ устойчивости дискретных систем. | Критерий Рауса-Гурвица. | Построение низкочастотной части ЛЧХ | Обеспечение заданной точности. | Расчет дискретных корректирующих средств. |


Читайте также:
  1. B) соответствуют российскому законодательству;
  2. I. Межличностные отношения и социальные роли. Понятие и структура общения.
  3. I. Многочисленные приемы сейлз промоушн, направленные на конечных потребителей, можно объединить в несколько групп.
  4. I. Определение сильных и слабых сторон вашего типа личности, которые могут проявиться в работе.
  5. I. Понятие и классификация ощущений, их значение в теории ПП. Роль восприятия в маркетинге
  6. I. Понятие и характерны черты мусульманского права.
  7. I. Понятие малой группы. Виды и характеристика малых групп

Выражение Df[n] = f[n+1] – f[n] (1)

называется конечной разностью первого порядка решетчатой функции. Для краткости Df[n] называют просто первой разностью. Первая разность от решетчатой функции Df[n] называется разностью второго порядка решетчатой функции f[n] или просто второй разностью, т.е.

D2f[n] = Df[n+1] - Df[n] (2)

Разность k-го порядка решетчатой функции f[n]

Dkf[n] = Dk-1f[n+1] - Dk-1f[n] (3)

Разность любого порядка можно выразить через значение решетчатой функции f[n]. В частности для второй разности получим

D2f[n]= Df[n+1]-Df[n]={f[n+2]-f[n+1]}-{f[n+1]-f[n]}= f[n+2]-2f[n+1]+f[n] (4)

Аналогично для третьей разности найдем

D3f[n]= f[n+3]-3f[n+2]+3f[n+1]-f[n] (5)

Для разности k-го порядка справедлива формула

Dkf[n] = (-1)n()f[n+k-n], (6)

где ()= Ckn=

Полученные формулы, определяющие разности решетчатых функций, позволяют выразить саму решетчатую функцию f[n] через разности различных порядков. Так из (1) получим

f[n+1]= f[n]+ Df[n] (7)

Из (1) и (2)

D2f[n]=f[n+2]-f[n+1]-Df[n]=f[n+2]-f[n+1]+f[n+1]-f[n]-2Df[n]=f[n+2]-f[n]-2Df[n]

Откуда f[n+2]=f[n]+2Df[n]+ D2f[n]

Продолжая, получим следующую формулу

f[n+l]= ()Dk f[n] (8)

или в частности при n=0

f[l]= ()Dk f[0] (9)

Формулы (8) и (9) выражают значение решетчатой функции через ее конечные разности до порядка l включительно. Эти формулы являются дискретным аналогом разложения непрерывных функций в ряд Тейлора.

Пример. f[n] = a, где a- cont. Найти D f[n]

D f[n]=f[n+1]-f[n]= a-a=0

f[n]=an+b, найти D f[n]

D f[n]=a(n+1)+b-an-b=a

D2 f[n]= D a=0

f[n]=n2

D f[n]=(n+1)2-n2=2n+1

D2 f[n]= D f[n+1]- D f[n]=2(n+1)+1-2n-1=2

D3 f[n]=0

f[n]=ea n

D f[n]= ea (n+1)- ea n= ea n(ea -1)

D2 f[n]= (ea -1) D ea n= ea n(ea -1)2

Dk f[n]= ea n(ea -1)k

Рассмотрим теперь операцию, которая является обратной по отношению к операции взятия конечной разности. Пусть решетчатая функция f[n] определена при положительных значениях аргумента n=0, 1, 2,… Требуется найти такую решетчатую функцию F[n], для которой функция f[n] является первой разностью.

Эта задача аналогична задаче о нахождении первообразной в анализе обычных функций. Искомая функция имеет вид

F[n] = f[k] (n=1,2,…)

Действительно,

DF[n]= F[n+1]-F[n]= f[k]- f[k]= f[n]

Функцию F[n] называют первообразной для f[n].

Если решетчатая функция f[n] определена при всех целочисленных значениях аргумента n=0,±1, ±2, … то для определения первообразной необходимо дополнительно потребовать, чтобы при каждом конечном n сходился ряд f[k]. При этом условии первообразная определяется выражением

F[n]= f[k].

Если функция F[n] является первообразной для f[n], то и функция F[n]+C, где С = const, также является первообразной для решетчатой функции f[n]. Действительно

D[F[n]+C]= DF[n]+ DC=f[n].

Таким образом, общий вид первообразной для решетчатой функции f[n] определяется формулой

F[n]= f[k]+C

Значение постоянной С можно выразить через значение первообразной при некотором фиксированном значении аргумента n=N

C=F[N] - f[k]

Подставляя это выражение в предыдущее, найдем

F[n]= f[k]+F[N] - f[k]= f[k]+F[N]

Откуда

F[n]-F[N]= f[k] для любого n>N

Последняя формула является аналогом соответствующей формулы интегрального исчисления, связывающей интеграл с первообразной. Ее можно записать в виде

F[N+l]-F[N]= f[k]= f[N+n] (l=1,2,…)

Сумму, стоящую в правой части этого выражения, иногда называют определенной суммой по аналогии с определенным интегралом.

 

 


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 58 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Решетчатые функции| Дискретное преобразование Лапласа.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)