Классы эквивалентности

Иногда в группе симметрии имеется несколько однотипных операций, похожих друг на друга. Рассмотрим для примера группу С _{3 v} , описывающую симметрию объектов в форме треугольной пирамиды (например, молекулы аммиака). Эта группа содержит два поворота вокруг вертикальной оси z — C ₃ ^z (на 120°) и `C ₃ ^z (на 240° или, что то же самое, на –120°) и три отражения в вертикальных плоскостях, пересекающихся друг с другом по оси z и образующих между собой углы в 120°.

Можно заметить, что обе операции поворота (по часовой стрелке и против часовой стрелки) переходят друг в друга в результате отражения в любой из трех плоскостей симметрии. Аналогичным образом, три операции отражения переходят друг в друга при поворотах на 120°. Такие совокупности операций образуют т.н. классы эквивалентности группы. Следовательно, в группе С _{3 v} имеется три класса эквивалентности:

- класс поворотов, содержащий две операции { C ₃ и `С ₃ };

- класс отражений, содержащий три операции { s₁, s₂, s₃ };

- единичный класс, содержащий одну операцию { E }.

Можно заметить, что эти классы непересекающиеся. Другими словами, каждый элемент группы относится только к одному классу эквивалентности. Внутри данного класса все элементы эквивалентны между собой, но любые два элемента из разных классов не эквивалентны друг другу.

В коммутативных (абелевых) группах каждый элемент образует свой индивидуальный класс эквивалентности. Другими словами, в таких группах нет эквивалентных между собой элементов.

Разбиение группы на классы эквивалентности играет важную роль в физико-химических приложениях теории групп.

Дата добавления: 2015-07-20