Вычисление числовых характеристик НСВ, имеющей

показательное распределение на отрезке [a,b]

Задача 15. Вероятность безотказной работы прибора в течение х часов равна е ^{- 0.0002 Х} . Х - момент отказа прибора. Найти математическое ожидание M(X) - среднюю наработку на отказ Т и вероятность безотказной работы прибора в течение 500 часов.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1.	Записать функцию плотности вероятности f (x) показательного распределения по формуле f (x) = для заданного значения l=0.0002. .	f (x) =
2.	Записать функцию распределения F (x) показательного распределения по формуле F (x) =	F (x) =
3.	Вычислить математическое ожидание.	M(X)= 5000(ч).
4.	Вычислить дисперсию и среднеквадратичное отклонение.	D(Х)=
5.	Вычислить вероятность попадания в интервал по формуле P(a<X<b)= .	Р (Х >500) = е ^-0.0002∙500 = е ^-0.1 = 0.905.

Алгоритм на умение № 16.

Определение числовых характеристик и вероятности попадания нормально распределенной НСВ Х в интервал P (a< Х < b)

Задача№ 16-а. Случайная величина Х имеет нормальное распределение

N (m,σ) = N (3,2). Найти числовые характеристики, функцию распределения, плотность вероятности НСВ Х, а также вероятности попадания НСВ Х в интервалы P (-1 < Х < 1), P (- 2 < Х -3 < 2), P (-4 < Х -3 < 6).

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1.	Записать математическое ожидание m, дисперсию Dи среднеквадратичное отклонение σ для нормально распределенной СВ.	m=MX =3, σ ==2, D(X) =2^2= 4.
2.	Записать функцию распределения F(X)= и плотность вероятности НСВ Х f(X)= .	Функция распределения имеет вид F(X)= и плотность вероятности НСВ Х имеет вид f(X)= .
3.	Вычислить P (-1< x <1), используя таблицы 3, по формуле P(a<x<b)=Ф()-Ф().	P (-1 < Х < 1) = = = Ф(-1) – Ф(-2) = = -0.34338-(-0.4772)= 0.1334.
4.	Вычислить P (- 2< x -3 < 2) или Р(|x-3|<2) по формуле P(| x - a |<d)=2Ф(), используя таблицы 3 (Приложение 1).	P (- 2 < х -3 < 2) = Р(|x-3|<2)=2Ф()=2Ф(1)= 0.6826.
5.	Вычислить P (-4< Х -3<6) используя таблицы 3, по формуле P(a<x<b)=Ф()-Ф().	P (-4< Х -3<6)= Р (-1<x<9)=Ф()= = Ф(3) – Ф(-2) = 0.9986 – 0.0228 = 0.9758.
6.	Вычисляется P (-6 < Х -3 < 6) с помощью правила трех «сигм»	P (- 6 < Х -3 < 6) = Р ( = = Ф(3) – Ф(-3) = 0.9986 – 0.0014 = 0.9972.

Задание 16-б. Вес цемента, упакованного автоматом в бумажный мешок, есть случайная нормально распределенная величина с математическим ожиданием m= 50 кг и среднеквадратичным отклонением кг (заданный стандарт x= кг). Найти вероятность того, что: а) случайно выбранный мешок будет содержать не менее 48 кг цемента; б) партия из 100 мешков будет содержать не более 5040 кг.

Решение

№ п/п	Алгоритмы	Конкретное соответствие задания заданному алгоритму
1.	Записать условие символически: математическое ожидание mX, среднеквадратичное отклонение s, дисперсия DX.	а) М(Х)=m =50, s=2, D(X) = 4, б) Пусть СВ Y – вес 100 мешков цемента, тогда , M(Y)=5000, D(Y)=100DX, Найти а) P(C³48), б) R(U<5040)
2.	Вычислить вероятности попадания в интервал с помощью таблиц нормального распределения (функция Лапласа, табл.3 Приложение 1).	а) б) Замечание: использовали свойство нечетной функции Лапласа: Ф(-х)=-Ф(х).

Алгоритм на умение 17

Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что НСВ отличается от среднего на величину e

Задача 17-а. Вес мужчины — случайная величина со средним 80 кг и дисперсией 50 кг². Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что вес случайно встреченного мужчины отличается от среднего на величину a)больше, чем 10 кг, б) не больше, чем 15кг.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1.	Записать условие символически: математическое ожидание m, дисперсия DX, оценка отклонения e.	m= 80; DX= 50, a)e1=10, б) e2=5
2.	Подставить значения mX, DX и eв неравенство Чебышева P (| X – m | ≥ e) ≤ , т.к. надо оценить вероятность того, что НСВ отличается от среднего на величину, больше, чем e.	а)Из неравенства Чебышева следует P (| X - 80| ≥ 10) ≤ = 0.5.
3.	Подставить значения mX, DX и eв неравенство Чебышева P (| X – m | < e) ≥1- , т.к. надо оценить вероятность того, что НСВ отличается от среднего на величину, меньше, чем e.	б)Из неравенства Чебышева следует P (| X - 80| <15) ≥1- = 1-0.22=0.78.

.

№

Умение

Алгоритмы

1/18

Построение вариационного ряда, эмпирической функции распределения и ее графика - кумуляты.

1. Для построения точечного вариационного ряда расположить заданные значения варианты x_i в порядке возрастания, одинаковые значения объединить и найти их соответствующие частоты. Точечный вариационный ряд абсолютных частот примет вид:

xi	x1	...	xk
ni	n1	...	nk

2.Найти их соответствующие относительные частоты (статистические вероятности) , где 1£ i £ k, причем , .

Вариационный ряд относительных частот примет вид:

xi	x1	...	xn
		...

3. Составить эмпирическую функцию распределения, для чего найти накопительные частоты (плотность вероятности) на каждом интервале, просуммировав их по формуле:

.

4. Для построения кумуляты начертить декартову систему координат и отложить на оси абсцисс все возможные значения варианты x ₁, x ₂, …, x_k, а на оси ординат – соответствующие значения функции F *(x)= .

5. Построить график эмпирической функции распределения, состоящий из отрезков с ординатами pi, построенными на соответствующих интервалах 1£ i £ k ( для дискретных вариант) или соединить отрезками полученные точки (для непрерывных вариант).

2/19

Построение полигона и гистограммы

1. Для построения вариационного ряда расположить заданные значения варианты x_i в порядке возрастания, одинаковые значения объединить и найти их соответствующие частоты

2. Одинаковые значения объединить и найти их соответствующие частоты (статистические вероятности) p_i= , где 1£ i £ k.

Вариационный ряд относительных частот примет вид:

xi	x1	...	xn
pi	p1	...	pn

3. Отложить на оси ординат абсолютные частоты n ₁, n ₂,…, n_k или относительные частоты , ,…, .

4. Для построения графика полигона относительных (абсолютных) частот необходимо соединить полученные точки с координатами (x ₁, ),(x ₂, ),...,(x_n, ) [(x ₁, n ₁),(x ₂, n ₂),...,(x_n, n_k)] отрезками прямых.

5. Для построения интервального вариационного ряда найти «размах» выборки – ее границы, т.е. , , найти k число интервалов так, чтобы в каждом было не менее пяти значений варианты. При подсчете частоты признака начало интервала включают в интервал, а конец не включают - он является началом следующего интервала. В случае, если признак встретился не более 5 раз (ni £5), надо объединить соседние интервалы.

6.Для построения гистограммы на оси ОХ откладываются полученные интервалы. Гистограмма состоит из прямоугольников, построенных на этих интервалах, высотами которых являются соответствующие этим интервалам значения частот (абсолютных или относительных).

Для составления вариационного ряда нужно:

1) найти минимальное и максимальное значения выборки — Х_min и X_max;

2) в первой строке таблицы записать варианты данной генеральной совокупности (выборки) в порядке возрастания;

3) во второй строке записать значение частоты, соответствующей данной варианте.

---

Дата добавления: 2015-07-25