Производная сложной функции

Пусть z = F(u, v) — некоторая функция переменных u и v. В свою очередь переменные u и v являются функциями u = φ (x, y), v = ψ (x, y) переменных х и у. Область изменения функций u = φ (x, y), v = ψ (x, y) принадлежит области определения функции F(u, v). Тогда z = F(φ (x, y), ψ (x, y) — сложная функция переменных х и у. В дальнейшем будем предполагать выполненными условия существования сложной функции.

Кроме того, пусть функции F(u, v), φ (x, y), ψ (x, y) имеют непрерывные частные производные по своим переменным. Сохраняя переменную у постоянной, зададим переменной х приращение Δ х, тогда частное приращение переменной z определится соотношением

(1)

где γ 1 → 0, γ 2 → 0 при Δ хu → 0, Δ хv → 0. Разделим соотношение (1) на Δ х

(2)

Если Δ х → 0, то Δ хu → 0, Δ хv → 0 и γ 1 → 0, γ 2 → 0, поэтому, выполняя предельный переход в (2) при Δ х → 0, получим

(3)

Аналогично получим

(4)

Дата добавления: 2015-07-16