Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Метод Ньютона в многомерном случае.

Основные определения. | Простейшие свойства многочленов Чебышева. | Применение многочленов Чебышева в задаче интерполяции. | Общая постановка задачи и ее разрешимость. | Среднеквадратичное приближение функций алгебраическими многочленами. | Среднеквадратичная ошибка аппроксимации полиномами Лежандра. | Квадратурные формулы на основе интерполяции. | Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. | Некоторые общие свойства ортогональных с весом полиномов. | Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля. |


Читайте также:
  1. A. Крапельний метод
  2. A. Метод дражування, диспергування в системі рідина-рідина, метод напилювання в псевдорозрідженому шарі, центрифужне мікрокапсулювання
  3. I Рамочная проблемно-ориентированную методика анализа и решения организационно-экономических задач
  4. I. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ СЕЙСМОКАРОТАЖА
  5. I. Методические указания для студентов
  6. I.Организационно-методический раздел
  7. I1. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Пусть задана система нелинейных уравнений

или в более компактной форме: f (x)=0, где -мерная вектор-функция (вектор-столбец).

Для реализации метода решения и исследования сходимости необходимо, чтобы функции были достаточно гладкими, например, , где .

Рассмотрим i -ое уравнение системы: и пусть - некоторое приближение к корню , полученное на k -ой итерации.

Разложим функцию в многомерный ряд Тейлора в точке :

, (17)

где

-

- вектор-градиент функции в точке , а - скалярное произведение векторов a и b. Пренебрегая остаточным членом в (17), положим

или в более компактной матричной форме:

, (18)

где

-

- так называемая матрица Якоби первых производных в точке .

Пусть . Разрешим систему линейных алгебраических уравнений (18) относительно x:

И положим :

(19)

Векторное уравнение (19) представляет собой итерационную процедуру Ньютона в многомерном случае. Для ее запуска необходимо задать начальную точку . Однако при произвольном выборе начальной точки нельзя гарантировать сходимость процедуры Ньютона. Вопрос о сходимости (19) в теоретическом плане более сложный, чем тот же вопрос о сходимости метода Ньютона в одномерном случае. Рассмотрим некоторые основные моменты проблемы исследования сходимости процедуры (19).

Прежде всего отметим, что для реализации метода Ньютона необходимо, чтобы матрица Якоби была невырождена в некоторой окрестности точки . Тогда обратная матрица существует в этой окрестности. Аналогично одномерному случаю, процедуру (19) можно рассматривать как итерационный поиск неподвижной точки для уравнения

,

где - - мерная оператор-функция. Можно показать, что . Поэтому, как и в одномерном случае существует окрестность точки , в которой оператор-функция является сжимающим оператором с некоторой константой сжатия , тем меньшей, чем ближе точка к точке (в эвклидовой норме). Поэтому о характере сходимости многомерного метода Ньютона справедливы утверждения, аналогичные одномерному случаю.

Например, если - строго выпукла в G, и начальное приближение выбирается достаточно близко к , то итерационная процедура Ньютона (19) сходится с линейной скоростью, а, начиная с некоторого номера, - и с квадратичной скоростью.

Замечание. Строгую формулировку достаточных условий сходимости метода Ньютона в многомерном случае можно найти в цитируемой литературе (см., например, [2]). На практике эти условия, как правило, проверить чрезвычайно сложно. Поэтому при работе на компьютере (например, в пакете MATLAB) используют метод проб и ошибок при выборе начальной точки . На начальном этапе важно найти так называемую зону притяжения, т.е. такую область , что при выборе процедура (19) сходится.

Пример 4. Задана система уравнений:

Взяв в качестве начального приближения точку , выполнить одну итерацию по методу Ньютона.

Ответ: . Точное решение: .

 

3.4. Численные методы решения систем ЛАУ.


Дата добавления: 2015-07-16; просмотров: 197 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Принцип сжатых отображений.| Прямые методы решения систем ЛАУ.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)