Анализ парадокса Ришара, причины возникновения, способы устранения.

Парадокс Ришара.

Каждое выражение языка представляет собой множество конечно-членных последовательностей, состоящих из знаков алфавита.

Множество выражений языка счетно.

S1: А1, А2, А3… - множество выражений языка, оно бесконечно, но счетно.

S2: А1, А2, А3… - те из выражений языка, которые описывают одноместные арифметические функции.

S2 S1

S3: f1, f2, f3… - сами функции.

Никто нам не запрещает нумеровать сами функции в соответствии с теми выражениями языка, которые их репрезентируют.

Теперь я произношу слова: "Та самая функция, которая для любого натурального числа n принимает значение на 1 большее, чем функция, которая репрезентируется выражением языка за номером n". Эти слова описывают одноместную арифметическую функцию:

fq(q)=fq(q) + 1

Это семантический парадокс, потому что здесь мы идем от языка. Диагональная функция попадает в пересчет за счет языка.

Почему мы получаем парадокс?

1) Определение диагональной функции является непредикативным. (Вспомним Рассела: m определяется ссылкой на M, но принадлежит к M.) Диагональная функция определяется ссылкой (номер q в пересчете) на совокупность, к которой она принадлежит, будучи одноместной арифметической функцией.

NB:

Непредикативное определение (1) - это определение, в котором определяющее выражение содержит ссылку на множество всех значений неопределенного имени (переменной), входящего в определяемый термин; при этом может возникнуть круг в определении, ведущий к парадоксу (противоречию).

Непредикативное определение (2) - это определение, посредством которого создаётся или вводится в рассмотрение предмет, являющийся одним из значений неопределённого имени («переменной»), участвующего в определяющем выражении. Некорректность н.о. состоит в том, что предмет, вводимый посредством такого определения, своим появлением может изменить смысл определяющего выражения, а тем самым и самого определяемого предмета. Когда эта возможность не реализуется (что бывает, если все вхождения упомянутого неопределённого имени несущественны, т. е. устранимы логическими средствами), некорректностью н.о. можно пренебречь, но в таких случаях не возникает и проблемы н.о. Если же хоть одно вхождение неопределённого имени неустранимо, то создаваемый определением объект сам участвует в своём определении в качестве одного из значений смысла этого имени — и определение порочно, поскольку оно не даёт редукции определяемого объекта к ранее известным объектам и понятиям. С точки зрения теории определений, подобные порочные н.о. следует считать столь же недопустимыми, как и круги в доказательствах. Впервые на н.о. в математическом анализе указал А. Пуанкаре. Он же ввёл и сам термин «Непредикативное определение». Наиболее известные примеры н.о. встречаются при «наивных» классических попытках обоснования аксиоматической теории множеств. Например, доказательство существования объединения («теоретико-множественной суммы») произвольного множества множеств является непредикативным (так как при определении множества слово «множество» входит, и притом дважды, в определяющее выражение). В целях избежания связанных с этим трудностей были предложены различные средства (модификация наивной теории множеств), в частности теория типов.

Если отказаться от непредикативных определений, то парадокса не будет. Но сделав это, мы откажемся и от доказательства Кантора.

Канторово доказательство несчетности множества.

Множество всех бесконечных последовательностей несчетно, а множество всех конечных последовательностей счетно.

Соответственно, множество всех функций от натуральных чисел несчетно.

Каждая функция задается ее системой значений:

x²: 1, 4, 9…

x²+1: 2, 5, 10…

Допустим, что множество одноместных арифметических функций счетно. Тогда можно организовать пересчет:

f(0), f(1), f(2)…

f(0), f(1), f(2)…

f(0), f(1), f(2)…

Диагональная функция:

f(0), f(1), f(2)…

Эта система значений позволяет нам задать функцию F:

f(0)+1, f(1)+1, f(2)+1…

F – это функция, которая отличается от любой функции в нашем пересчете на 1. Или: от функции за номером k она будет отличаться значением, которое та функция принимает для числа k – на 1.

Зададим функцию F (задать функцию=задать алгоритм вычисления системы ее значений):

F(n) f(n)+1

F – одноместная арифметическая функция. Область определения – целые положительные числа. Область значения – целые положительные числа.

Значит, F попадает в наш пересчет.

f(n) f(n)+1

Т.к., возьмем, к примеру:

n=q

f(q)=f(q)+1

Мы получаем противоречие.

Какой бы пересчет мы ни взяли, всегда можно построить диагональную функцию.

Парадокса здесь нет, просто наше допущение неверно.

2) Пагубная самоприменимость. В данных условиях самоприменимость приводит к парадоксу.

Выводы:

1) Множество одноместных арифметических функций несчетно. Для любого пересчета S1 всегда можно построить диагональную функцию, не попадающую в пересчет.

2) Множество выражений языка счетно. Пересчет одноместных арифметических функций организуется в соответствии с выражениями языка, определяющими эти функции.

3) Если диагональная функция выразима в языке, то мы получаем парадокс.

4) Выразима ли диагональная функция в языке? Здесь возникает необходимость экспликации понятий выразимости свойств, отношений в языке.

Дата добавления: 2015-07-16