Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Док-во.

Общее решение линейного неоднородного дифура n-го порядка. Принцип суперпозиции. | Линейное неоднородное дифф.ур. n-го порядка. Метод вариации постоянных. | Линейное неоднородное дифф.ур. n-го порядка с пост-ми. коэфф-ми. Метод неопр. коэфф. | Однородные и неоднородн. кр-я Эйлера. | Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка. | Основные св-ва частных решений лин. однор.ур. | Основное св-во комплексно значных функции. | Формула Остроградского-Лиувилля. | Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка. Функция Грина. | Понятие устойчивости. Теорема Ляпунова об устойчивости. |


Надо док-ть,что явл. решением (7).То, что (10) явл. частным решением (7) следует из 3 св-ва частных решений лин. однор. уравнений.Но нужно док-ть более сильное утв:что (10) явл. общим решением ур(7) т.е содержит в себе все частные решения Ур(7) без исключений.

Т.к. при сформулируемых условиях (7) удовлетворяет условиям теоремы существования единственности решения, то нам достаточно показать, что постоянные в решении (10) всегда можно подобрать так, чтобы это решение удовлетворяло произвольно заданному начальному условию:

. -любые числа.

Чтобы убедиться в этом подставим (10) в каждое из начальных условий (11):

(12)

……………………………………..

Относительно постоянных (12) явл. линейной, неоднор., алгебраической системой.Определитель которой равен .

Т.К. у1,у2…явл. лин.нез. по условию на [a,b] коэффициентами, то по 2) св-ву определителя Варденмонда наш опрнделитель не равен 0. То по теореме Кронсера-Капелли сис(12) имеет решение и любых правых частях. ч.т.д.

След1: Макс. число лин.нез. частных решений лин. однор Ур.= его порядку.

След2: лин.нез. частных решений лин. однородного ур. n-ого порядка наз. его фундаментальной системой решеший.

Альтернативная формулировка теоремы выше6 общее решение лин. однор. ур. с непр. коэф-ми равно лин. комбинации его фундам. сис. решений.

 

16. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами (случай простых корней характеристического уравнения). Частные решения линейного однородного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами a0y(n)+a1y(n-1)+…+an-1y/+any=0(1)

,(где а0,а1…аn-действ.постоянные)

всегда можно искать в виде y=ekx,

где k – некоторая постоянная. Так как y/=kekx, y//=k2ekx, …, y(n)=knekx, то подставляя в исходное дифференциальное уравнение имеем: (a0kn+a1kn-1+…+an-1k+an)ekx=0.

Сокращая на необращающийся в нуль множитель ekx, получим алгебраическое уравнение n-ой степени, называемое характеристическим:

a0kn+a1kn-1+…+an-1k+an=0.(2)

Это уравнение определяет те значения постоянной k, при которых функция y=ekx является частным решением линейного однородного уравнения (1). В зависимости от рода корней характеристического уравнения (2) возможен случай:

Если все корни(2) k1, k2,…,kn характеристического уравнения действительны и различны

, то тем самым найдено n линейно независимых частных решений (3) исходного уравнения, то есть найдена его фундаментальная система решений.

(3)-лин. независимы на любом отрезке.То (3) образуют ф.с.р.(1)

Следовательно, , где Ci – произвольные постоянные, является общим решением исходного уравнения(1)

 

 

№7


Дата добавления: 2015-07-19; просмотров: 98 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Основные свойства определителя Вронского.| Понижение порядка в линейных дифференциальных уравнениях n-го порядка.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)