Ортогональные представления сигналов

Вычисление спектральных составляющих сигнала существенно облегчается при выборе в качестве базиса системы ортогональных функций.

Систему функций называют ортогональной на отрезке если для всех за исключением случая удовлетворяется условие

Эта система функций будет ортонормированной (ортонормальной), если для всех справедливо соотношение

Если соотношение не выполняется и

то систему можно нормировать, умножая функции на

Определим коэффициенты при представлении сигнала совокупностью ортонормированных функций в виде

предполагая, что интервал лежит внутри отрезка

Правую и левую части уравнения (9.3) умножаем на и интегрируем на

В силу справедливости условия (9.1) все интегралы в правой части выражения (9.4) при будут равны 0. При в соответствии с (9.2) интеграл равен 1. Следовательно,

В теоретических исследованиях обычно используют полные системы ортогональных функций, которые обеспечивают сколь угодно малую разность непрерывной функции и представляющего её ряда при неограниченном увеличении числа его членов. Разность оценивают по критерию

При этом говорят о среднеквадратической сходимости ряда к функции

Широко известной ортонормированной системой является совокупность тригонометрических функций:

Она ортонормированна на отрезке Так как соответствующее разложение исторически появилось первым и было названо рядом Фурье, то соотношение (9.3) часто именуют обобщенным рядом Фурье, а значение обобщенными коэффициентами Фурье.

На рис. 9.1 приведена система функций Хаара, ортонормированность которых на интервале достаточно очевидна. Известны представления сигналов по системам ортогональных базисных многочленов Котельникова, Чебышева, Лаггера, Лежандра и др.

Обобщенная спектральная теория облегчает решение проблемы обоснованного выбора базисных функций для конкретных задач анализа процессов, происходящих при формировании и прохождении сигналов через те или иные звенья информационной системы.

Дата добавления: 2015-12-01