Переведення дробових 10‑чисел у дробові S‑числа

Читайте также:

У 10‑системі числення дробове число p можна записати у вигляді розкладення

у якому число k невідоме і може бути яким завгодно великим, у тому числі нескінченністю.

Переведення дробових 10-чисел у дробові S -числа так само, як у випадку цілих чисел, розпадається на кроки.

1-й крок. Перемножимо число p на S. Одержимо дробове число

і ціле число , яке і визначає цифру -розряду S -числа.

2-й крок. Перемножимо число на S. Одержимо дробове число

і ціле число , яке і визначає цифру ‑розряду S -числа.

Продовжуючи цей процес, можна одержати наступні цифри дробового S -числа.

Якщо дробове число p у 10-системі числення є скінченний дріб, то, власне кажучи, відповідне S -число може буде нескінченним дробом. У такому випадку необхідно вимушено припинити процес переведення на деякому кроці. У результаті одержимо скінченний, але наближений дріб у S -системі числення (наближене S -число). Якщо це S -число перевести в десяткове, то одержимо деяке число . Різниця цих чисел за абсолютною величиною називається абсолютною похибкою переведення числа .

Для зменшення похибки переведення числа його слід заокруглити за відомими правилами у 10-системі числення. Зокрема, у 2-системі числення до останнього збереженого розряду необхідно додати 1, якщо перший відкинутий розряд 1, і залишити його без змін – якщо 0. Можна довести, що похибка переведення в цьому випадку не перевищує половини останнього збереженого розряду. Це означає, що гранична похибка переведення дорівнює числу , де k – кількість збережених розрядів дробової частини числа. У 2-системі числення це число .

Приклад 1. Задане дробове число . Записати це число у 2-системі числення із граничною похибкою та обчислити істинну похибку переведення.

Розв’язання. З умови задачі випливає, що необхідно знайти шість дробових розрядів.

1-й крок.

, , , ;

2-й крок.

, , , ;

3-й крок.

, , , ;

4-й крок.

, , , ;

5-й крок.

, , , ;

6-й крок.

, , , .

Отже,

(у першому відкинутому розряді 1, тому заокруглюємо).

Істинна похибка переведення

Приклад 2. Задане дробове число . Знайти перші чотири дробові розряди відповідного 3-числа, обчислити істинну похибку переведення і порівняти її з граничною похибкою.

Розв’язання:

, , , ;

, , , .

Отже,

(у першому відкинутому розряді 2, тому заокруглюємо),

Істинна похибка переведення

Зрозуміло, що існують дробові числа, для яких похибка переведення дорівнює нулю.

Приклад 3. Знайти відповідне 16-число до числа .

Розв’язання:

, , , ;

Очевидно, що всі наступні цифри числа будуть дорівнювати нулю. Отже, .

Процес переведення дробових десяткових чисел у S -числа на практиці здійснюють так, як це показано в прикладі 4.

Приклад 4. Перевести дробове число у 2-число із похибкою, що не перевищує , і 16‑ число з похибкою, яка не перевищує .

Розв’язання. З умови задачі випливає, що необхідно знайти сім дробових розрядів заданого числа у 2-системі числення.

´2

Ліворуч від вертикальної лінії записуються цілі частини заданого числа (першим нуль – він буде завжди) і добутків – розряди 2-числа, а праворуч – дробові частини числа і добутків (дробові розряди підкреслені).