Способы представления гармонических колебаний

Гармонические колебания можно представить различными спо­собами: функциями времени (временные диаграммы) (см. рис. 3.1); вращающимися векторами (векторные диаграммы); ком­плексными числами; амплитудными и фазовыми спектрами. Тот или иной способ представления применяется в зависимости от характера решаемых задач.

Временное представление гармонических колебаний наглядно, однако его использование в задачах анализа цепей затруднительно, так как требует проведения громоздких тригонометрических пре­образований. Более удобно векторное представление гармони­ческих колебаний, при котором каждому колебанию ставится в со­ответствие вращающийся вектор определенной длины с заданной начальной фазой. В качестве примера на рис. 3.3 показано вектор­ное представление двух колебаний токов i ₁ и i ₂:

Величина φ= φ₂ —φ₁ называется фазовым сдвигом между колебаниями i ₁ и i ₂. Он определяется только началь­ными фазами φ₂ и φ₁ и не зависит от начала отсчета времени. Нетрудно ви­деть, что суммирование (наложение) любого числа гармонических колебаний с частотой со приводит к гармоническому колебанию той же частоты со.

Совокупность векторов, изображающих гармонические колебания в электрической цепи, называют векторной диаграммой. Векторные диаграммы можно строить как для амплитудных, так и для действующих значений токов и на­пряжений.

Наиболее распространенными являются представления гармо­нических колебаний с помощью комплексных чисел. Эти представ­ления лежат в основе символического метода расчета электриче­ских цепей — метода комплексных амплитуд. Представим ток i, определяемый формулой (3.6), на комплексной плоскости. Для этого изобразим вектор I _т на комплексной плоскости с учетом на­чальной фазы φ_i (рис. 3.4, а). Знаком «+» обозначено положи­тельное направление вещественной оси, а j = √-1— положитель­ное направление мнимой оси. Будем вращать этот вектор в поло­жительном направлении (против часовой стрелки) с угловой час­тотой со. Тогда в любой момент времени положение вращающегося вектора определится комплексной величиной (комплексным гармо­ническим колебанием):

Первая часть слагаемого (3.13) отражает проекцию вращающего­ся вектора на вещественную ось, а вторая часть — на мнимую ось. Сравнив второе слагаемое в (3.13) с (3.6), приходим к вы­воду: синусоидальный ток i на комплексной плоскости представляется

в форме проекции иа мнимую ось вращающегося вектора (3.13)

Величина I _т носит название комплексной амплитуды тока.

Важным свойством комплексной амплитуды является то, что она полностью определяет гармоническое колебание заданной час­тоты ω, так как содержит информацию об его амплитуде и на­чальной фазе.

Если гармоническое колебание задается в форме косинусоиды, например

где -сопряжение комплексная амплитуда тока.

Таким образом, ток i из (3.6) согласно (3.19) можно предста­вить как геометрическую разность векторов вращаю­щихся в противоположных направлениях с угловой частотой со, а ток из (3.16) — как геометрическую сумму этих векторов (рис. 3.4, б). В первом случае i располагается на мнимой, а во втором случае — на действительной осях. Комплексную амплитуду синусоидальной функции заданной частоты можно рассматривать как преобразование временной функции в частотную область.

Спектральное (частотное) представление гармонических коле­баний состоит в задании амплитудного и фазового спектров коле­бания (рис. 3.5). Более подробно спектральное представление и методы анализа цепей, основанные на этом, представлении, рас­смотрены в гл. 5, 9.

Дата добавления: 2015-12-01