Типы погрешностей

При рассмотрении результатов измерений можно разделить погрешности по ряду признаков: по характеру и источникам возникновения, по значению и принадлежности к видам измерений, по способу количественного выражения. В классификации погрешностей по причинам, которыми они вызываются, выде­ляют три их основных типа - систематические, случайные и грубые (промахи).

Систематическая погрешность. Эта погрешность одинакова во всех из­мерениях одной и той же величины, выполненных одним и тем же методом од­ними и теми же измерительными приборами. Такая погрешность называется методической, когда она возникает из-за несовершенства методов измерений, или же инструментальной, если она обусловлена погрешностями средств изме­рений. Источниками систематических погрешностей могут также быть неуч­тенные влияния внешних воздействий и личные ошибки оператора, вызванные его физическими особенностями. Исключение систематических погрешностей возможно путем их устранения или внесения соответствующих поправок, если выявлена причина возникновения этих погрешностей, однако они могут остать­ся и неизвестными. Эффективным способом обнаружения и оценки системати­ческой погрешности является проведение измерений одной и той же величины принципиально разными методами.

Случайная погрешность. Величина этой погрешности, в отличие от сис­тематической, различна при повторяющихся измерениях, проведенных одина­ковым образом, поскольку определяется изменением условий измерений, воз­никающим в результате влияния случайных факторов, действие которых не поддается учету. Происхождение и размер названной погрешности могут быть вызваны как объективными, так и субъективными причинами. Ввиду случайно­го разброса данных, полученных в многократных измерениях одной и той же величины, такие погрешности нельзя исключить, но их можно оценить стати­стическими методами при достаточном числе повторных измерений (что и яв­ляется одним из основных назначений настоящей лабораторной работы).

Грубая погрешность. Источником этой ошибки, называемой промахом, является присутствие неких внешних влияний, нередко обусловленных недос­татком внимания со стороны экспериментатора, что может выражаться либо в грубом просчете при проведении измерений вплоть до использования неис­правной аппаратуры, либо в неверной записи показаний прибора. Основной способ недопущения промахов - тщательное и внимательное выполнение рабо­ты. Если же промахи случаются, то при их обнаружении результаты соответст­вующих измерений должны быть отброшены.

2. Характеристики погрешностей

Как отмечалось во введении, измерения бывают прямые и косвенные, расчет погрешностей в которых имеет свою специфику. Поскольку и в тех и в других измерениях результат всегда содержит некоторую погрешность, иско­мая величина х не может быть найдена совершенно точно. Наиболее вероятное значение величины х устанавливается из ряда равноточных измерений как среднее арифметическое . Соответственно в задачу входит не только опреде­ление этой величины , но также и оценка для полученного результата по­грешностиΔ х, выражающей отклонение от среднего значения , которую на­зывают абсолютной погрешностью. При этом точность измерений характери­зует не сама абсолютная погрешность, а ее отношение к измеряемой величине, т.е. , называемое относительной погрешностью.

В целом результат измерений с учетом погрешностей может быть пред­ставлен доверительным интервалом х = ± Δ х, в котором заключено истин­ное значение измеряемой величины х. Степень надежности того, что измерен­ная величина не будет отклоняться от истинного значения более чем на вели­чинуΔ х, определяется доверительной вероятностью (в технике такую харак­теристику называют надежностью). Доверительная вероятность выражается числом Р, указывающим, с какой вероятностью истинное значение x находится в доверительном интервале ± Δ х. Понятно, что эта вероятность растет с рас­ширением границ доверительного интервала.

При физических измерениях для определения доверительных границ по­грешности результата измерений принимается доверительная вероятность Р = 0.95 (ГОСТ 8.207-76), т.е. полагается указывать такой доверительный ин­тервал, в котором будет лежать 95% результатов всех однотипных измерений. Итак, при представлении любого измеренного значения следует привести дове­рительный интервал и доверительную вероятность, соответствующую это­му интервалу.

3. Погрешности в прямых измерениях

При непосредственных измерениях для получения количественной оцен­ки случайной погрешности, т.е. для нахождения величин, определяющих доверительный интервал, удобно представить исходные данные, полученные в из­мерениях, и их первичную обработку в виде табл. 1.

Таблица 1

№ п/п i	xi	- xi	( - xi)^2
	x1	– x1	( – x1)^2
	x2	– x2	( – x2)^2
	x3	– x3	( – x3)^2
.	.	.	.
.	.	.	.
.	.	.	.
n	xn	– xn	( – xn)^2
Сумма		-
Среднее		-	-

Среднее квадратичное отклонение результата измерений рассчитывается по формуле (2)

В этой таблице приведены результаты выполненных в одних и тех же ус­ловиях n прямых измерений (содержащих случайные погрешности) некоторой физической величины х с последующим вычислением среднего арифметического

как наиболее вероятного значения измеряемой величины. Далее найдены абсолютные погрешности отдельных измеренийΔ х_i = - x_i, ха­рактеризующие отклонения x_i, от , и их квадраты ( - x_i)², которые в отличие от значения Δ х_i образовывают набор только положительных чисел. Сумма по­следних используется для вычисления средней квадратичной погрешности σ отдельного измерения, называемой также средним квадратичным отклонением, или стандартным отклонением, или стандартной ошибкой:

(1)

Квадрат этой величины, σ², называется дисперсией измерений (от латин­ского dispersus - «рассеяние») и является мерой отклонения измеряемой вели­чины x_i от среднего значения , т.е. мерой рассеивания результатов измерений.

Наряду со средней квадратичной погрешностьюσ отдельного (индивиду­ального) измерения важным является вычисление средней квадратичной погрешности σ_m результата измерений, за который принимают среднее из n из­мерений (отсюда другие названия погрешности σ_m: среднеквадратичное откло­нение среднего, стандартное отклонение среднего, стандартная ошибка средне­го). Эти два среднеквадратичных отклонения - отдельного измерения и резуль­тата n измерений (т.е. среднего значения) - связаны между собой:

(2)

Из выражения (2) видно, что стандартное отклонение среднего в меньше стандартного отклонения отдельного измерения, откуда следует воз­можность понижения погрешности путем увеличения числа измерений. Однако лучше уменьшать погрешность σ_m, повышая точность измерений, т.е. снизив величину посредством уменьшения абсолютных погрешностей отдельных измерений.

В то же время при небольшом числе измерений абсолютную случайную среднеквадратичную погрешность среднего ⧊ x, представляющую собой полу­ширину доверительного интервала, следует оценивать на основе стандартного отклонения (2) по формуле Стьюдента (Student - псевдоним английского иссле­дователя B.C. Госсета, что в переводе здесь означает «ученый»). Эта формула, соотносясь с выражением (2), имеет вид

(3)

где - коэффициент Стьюдента, зависящий от величины доверительной веро­ятности Р и числа измерений п. Для принятого согласно ГОСТ 8.207-76 значе­ния Р = 0.95 коэффициенты при различных п приведены в табл. 2.

Таблица 2

Коэффициенты Стьюдента при доверительной вероятности Р = 0.95 и числе измерений n

Дата добавления: 2015-11-30