Случайных погрешностей

Если погрешности носят чисто случайный характер, то по результатам измерений можно оценить вероятности их появления.

Пусть х₁, х₂…х_n – результаты отдельных измерений. Примем, что n достаточно велико, и при оценке погрешностей будем считать, что

(2.1)

Определив погрешности D x _i, рассортируем их по величине. Для этого весь диапазон полученных значений D x _i разобъем на одинаковые малые интервалы De и подсчитаем, сколько раз величина ошибки попадает в каждый интервал. Если в интервале номер «k» оказалось заключено Dn_k значений погрешности, то вероятность попадания погрешности в этот интервал

P_k @ Dn_k/n. (2.2)

Если значения вероятности для каждого интервала отложить по оси ординат, то получится ступенчатая диаграмма, изображенная на рисунке 3. Она называется гистограммой.

Рис. 3. Гистограмма

Так как Р_к зависит от Δε, то по оси ординат удобнее откладывать не Р_к, а величину , называемую плотностью распределения вероятностей. Очевидно,
y = P_k при De =1. Это значит, что у есть вероятность, отнесенная к единичному интервалу De. Вид гистограммы y (Dх_i) будет таким же, как и вид гистограммы Р_к (Dх_i) (рис. 3).

Рис.4. Кривая распределения вероятностей

случайных погрешностей

Если увеличить число измерений n (n ®¥) и строить гистограммы для все более малых интервалов De, то при De®0 середины верхних площадок прямоугольников сольются в плавную кривую, называемую кривой распределения вероятностей. Опыт показал, что в большинстве случаев распределение погрешностей соответствует так называемому нормальному закону, найденному Гауссом. Согласно гауссову распределению, плотность вероятности y и величина погрешности Dx_i связаны соотношением:

, (2.3)

где − основание натурального логарифма;
σ² – некоторый постоянный параметр, называемый дисперсией
распределения (смысл его выясняется далее).

Вид кривой распределения, соответствующий некоторому значению s, показан на рисунке 4.

Пользуясь законом распределения, можно производить многие важные расчеты.

Из формулы следует, что вероятность P(Dx_k) того, что величина погрешности заключена в интервале
Dx_k ¸ Dx_k + De, определяется формулой:

P(Dx_k) = y(Dx_k)·De.

Численно эта вероятность равна площади зачерненного прямоугольника С с основанием De (рис. 4). Вероятность того, что модуль погрешности не превзойдет некоторого значения, изобразится площадью заштрихованной фигуры АВС с основанием 2 Dx_k (рис. 4).

На рисунке 5 представлены кривые распределения, соответствующие разным s. Видно, что с ростом s максимум кривой распределения понижается, а ее «крылья» поднимаются. В соответствии со сказанным ранее о геометрическом смысле вероятности это означает, что с ростом s вероятность малых погрешностей уменьшается, а вероятность больших – растет. Следовательно, чем больше дисперсия распределения s², тем меньше точность измерений.

Важно подчеркнуть, что кривая y(Dx_i) характеризует не какую-то серию измерений, а некоторую воображаемую совокупность бесконечного числа измерений данной величины в одних и тех же условиях. Такая совокупность называется генеральной. Всякая же конечная серия измерений называется случайной выборкой из генеральной совокупности.

Рис. 5. Влияние дисперсии на вид кривой распределения
вероятностей случайных погрешностей

Дата добавления: 2015-11-30