От анализа Фурье к вейвлет-анализу

Любой сигнал из векторного пространства функций с интегрируемым квадратом,

можно представить рядом Фурье

где коэффициенты Фурье

Имеются две особенности разложений в ряды Фурье. Первая особенность состоит в том, что разлагается в бесконечную сумму взаимно ортогональных компонент

Вторая особенность состоит в том, что ортогональный базис порождается растяжением единственной функции

так, что для всех целых

Подводя итог, можно сказать, что каждая Т-периодическая, интегрируемая с квадратом функция порождается суперпозицией целочисленных растяжений базисной функции

Средняя мощность периодического сигнала

определяется суммой мощностей всех его спектральных компонент. Формула есть равенство Парсеваля для периодического сигнала. Поэтому где обозначает пространство всех суммируемых с квадратом бесконечных последовательностей:

Пространство сигналов и пространство последовательностей коэффициентов Фурье изометричны друг другу.

Далее рассмотрим пространство измеримых функций, определённых на вещественной оси удовлетворяющих неравенству

Ясно, что пространства сигналов и совершенно различны. Так каждая функция из должна затухать до нуля при но синусоидальные (волны) функции не принадлежат Поэтому, если мы хотим использовать «волны», порождающие то эти волны должны затухать до нуля при и это затухание должно быть быстрым. Так мы приходим к рассмотрению малых волн, или вейвлетов,для порождения Как и в случае когда одна функция порождает целое пространство, мы должны иметь одну функцию для порождения всего и будем обозначать её через Это так называемый материнский вейвлет. Так как материнский вейвлет имеет очень быстрое затухание, то для того, чтобы покрыть всё множество рассмотрим всевозможные сдвиги по оси времени. Кроме того вейвлеты необходимо масштабировать по длительности (т.е. сжимать и растягивать). В результате приходим к вейвлетам, которые сконструированы из одного материнского вейвлета за счёт операций сдвига во времени и изменения временного масштаба

Множитель обеспечивает независимость нормы этих сигналов от выбора масштабирующего числа При дискретных значениях параметров сжатия и сдвига получаем дискретные вейвлеты.

Дата добавления: 2015-11-16